Determine m, sabendo que Am, 5=180 cdot Cm, 3.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o inteiro m tal que
Am,5 ;=; 180 ,cdot, Cm,3
Aqui vamos usar permutações e combinações:
Am,5 é m!(m-5)!,é
Cm,3 é m!3!,(m-3)!é

Passo 2

Escrevendo a equação com essas fórmulas, temos
m!(m-5)! ;=; 180 ,cdot, m!3!,(m-3)!

Passo 3

Como m!neq0, podemos dividir os dois lados por m! e isolar o fatorial remanescente:
1(m-5)! ;=; 1803!,(m-3)! ;Longrightarrow; (m-3)!(m-5)! ;=; 1806 ;=; 30
Mas
(m-3)!(m-5)! =(m-3)(m-4)

Passo 4

Logo a equação vira
(m-3)(m-4) = 30 ;Longrightarrow; m^2 -7m +12 -30 = 0 ;Longrightarrow; m^2 -7m -18 = 0
Resolvendo essa quadrática:
De<a = (-7)^2 -4cdot1cdot(-18) = 49 +72 =121,
m = 7pmraiz1212 = 7pm112 ;Longrightarrow; m = 9 ou m = -2

Passo 5

Como m deve ser no mínimo 5 (para Am,5 fazer sentido), descartamos -2 e ficamos com
m = 9

Resposta

9

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