Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, quantos arranjos desses dígitos tomados 4 a 4 têm o dígito 1 antes do 4?

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos formar arranjos de 4 dígitos distintos escolhidos de 1,2,3,4,5,6 e contar quantos desses arranjos satisfazem que o dígito 1 aparece antes do dígito 4. O total de arranjos possíveis sem restrição é
P(6,4)=6cdot5cdot4cdot3=360

Passo 2

Para satisfazer a condição “ 1 antes de 4” o arranjo deve conter ambos os dígitos 1 e 4. Vamos contar quantos arranjos contêm 1 e 4. Escolhemos duas posições entre as quatro para os dígitos 1 e 4 em ordem específica: há
P(4,2)=4cdot3=12
maneiras de colocar 1 e 4 nessas posições. Nos dois lugares restantes, escolhemos e permutamos dois dígitos dentre os quatro restantes 2,3,5,6, o que dá
P(4,2)=4cdot3=12
maneiras. Logo, há
12cdot12=144
arranjos que contêm ambos 1 e 4.

Passo 3

Entre esses 144 arranjos, metade apresenta 1 antes de 4 e metade apresenta 4 antes de 1, por simetria. Portanto, o número de arranjos com 1 antes de 4 é
1442=72

Resposta

72

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