Exprimir as expressões seguintes, em função das potências de sen e cos :
sen 2 x, cos 2 x, sen 4 x, cos 4 x, sen 5 x, cos 5 x.

Passo 1

O enunciado pede para escrever as funções múltiplas de x
sin(2x),;cos(2x),;sin(4x),;cos(4x),;sin(5x),;cos(5x)
em termos de potências de sin x e cos x.
O conteúdo envolve as fórmulas de ângulo duplo
e a expansão de De Moivre para obter os casos de 4x e 5x.

Passo 2

Aplicando as fórmulas de ângulo duplo:
sin(2x)=2,sin x,cos x,
cos(2x)=cos^2 x-sin^2 x

Passo 3

Para 4x usamos de novo a fórmula de ângulo duplo, agora em 2x:
sin(4x)=2,sin(2x),cos(2x) =2l(2sin xcos xr)l(cos^2 x-sin^2 xr) =4,sin x,cos^3 x-4,sin^3 x,cos x,
cos(4x)=cos^2(2x)-sin^2(2x) =l(cos^2 x-sin^2 xr)^2-l(2sin xcos xr)^2 =cos^4 x-6,cos^2 x,sin^2 x+sin^4 x

Passo 4

Para 5x usamos a expansão de De Moivre:
(cos x + isin x)^5 = cos(5x) + isin(5x).
Separando parte real e imaginária, obtemos
cos(5x) =cos^5 x-10,cos^3 x,sin^2 x+5,cos x,sin^4 x,
sin(5x) =5,cos^4 x,sin x-10,cos^2 x,sin^3 x+sin^5 x

Resposta

sin(2x)=2sin xcos x
cos(2x)=cos^2 x-sin^2 x
sin(4x)=4,sin x,cos^3 x-4,sin^3 x,cos x
cos(4x)=cos^4 x-6,cos^2 x,sin^2 x+sin^4 x
sin(5x)=5,cos^4 x,sin x-10,cos^2 x,sin^3 x+sin^5 x
cos(5x)=cos^5 x-10,cos^3 x,sin^2 x+5,cos x,sin^4 x

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