Ext 6.8: A base de um sólido é a região (do plano x y ) limitada por y^2=4 x e a reta x=9. Cada plano perpendicular ao eixo x intersepta o sólido num quadrado com um lado na base (no plano x y ). Calcule seu volume.

Passo 1

O enunciado diz que a base do sólido é a região do plano xy limitada pela parábola y^2=4x e pela reta x=9. Cada plano perpendicular ao eixo x corta o sólido em um quadrado cujo um lado está apoiado na base (isto é, na interseção desse plano com o plano xy). Vamos usar o método de secções transversais, em que o volume é dado por
V=integralx=a^x=b A(x),dx,
onde A(x) é a área da secção quadrada em x.

Passo 2

Para um valor fixo de x entre o mínimo da base e o máximo, temos o segmento da base dado por
y^2=4xLongrightarrow y=pm 2raizx
Esse segmento, na reta x=constante, vai de y=-2raizx até y=2raizx e será o lado do quadrado.

Passo 3

O comprimento desse lado é
s(x)=2raizx-l(-2raizxr)=4raizx
Como a secção é um quadrado, sua área é
A(x)=l[s(x)r]^2=(4raizx)^2=16,x

Passo 4

Substituindo em V=integral0^9A(x),dx, obtemos
V=integral0^916,x,dx

Passo 5

Calculemos a integral:
integral0^916,x,dx =16integral0^9x,dx =16[x^22]0^9 =16cdot9^22 =8cdot81 =648

Resposta

O volume do sólido é 648.

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