Ext 6.7: Esboce a região do plano e escreva integrais que calculem o volume do sólido de revolução obtido pela rotação em torno do eixo
e em torno do eixo
da região do plano delimitada por:
(b) y=x / 2 e y=\sqrt{x} .
(b) y=x / 2 e y=\sqrt{x} .
Passo 1
Resumindo o enunciado: a região do plano é delimitada pelas curvas
e
Vamos esboçar essa região e escrever integrais para o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
e em torno do eixo
. Para isso usaremos o método das arruelas (discos) no eixo
e o método das cascas cilíndricas no eixo
.
Passo 2
Encontramos os pontos de interseção resolvendo
Multiplicando por 2:
e elevando ao quadrado:
logo
ou
. No intervalo
, a curva
fica acima de
.
Passo 3
Para rotação em torno do eixo
, cada “fatia” perpendicular ao eixo tem raio externo
e raio interno
Pelo método das arruelas, o volume é
Passo 4
Para rotação em torno do eixo
, usamos o método das cascas cilíndricas. Cada casca, em abscissa
, tem raio
e altura
O volume é