Ext 6.7: Esboce a região do plano e escreva integrais que calculem o volume do sólido de revolução obtido pela rotação em torno do eixo x e em torno do eixo y da região do plano delimitada por:
(b) y=x / 2 e y=\sqrt{x} .

Passo 1

Resumindo o enunciado: a região do plano é delimitada pelas curvas
y = x2
e
y = raizx
Vamos esboçar essa região e escrever integrais para o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x e em torno do eixo y. Para isso usaremos o método das arruelas (discos) no eixo x e o método das cascas cilíndricas no eixo y.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção resolvendo
raizx = x2
Multiplicando por 2:
2raizx = x,
e elevando ao quadrado:
4x = x^2 Longrightarrow x(x-4)=0,
logo x=0 ou x=4. No intervalo [0,4], a curva y=raizx fica acima de y=tfracx2.

Passo 3

Para rotação em torno do eixo x, cada “fatia” perpendicular ao eixo tem raio externo
R(x)=raizx
e raio interno
r(x)=x2
Pelo método das arruelas, o volume é
Vx = integral0^4 pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx = integral0^4 pil[l(raizxr)^2 - l(tfracx2r)^2r],dx

Passo 4

Para rotação em torno do eixo y, usamos o método das cascas cilíndricas. Cada casca, em abscissa x, tem raio x e altura
h(x)=raizx - x2
O volume é
Vy = integral0^4 2pi ,x,h(x),dx = integral0^4 2pi,xl(raizx - tfracx2r),dx

Resposta

Vx = integral0^4 pil(x - tfracx^24r),dx
Vy = integral0^4 2pi,xl(raizx - tfracx2r),dx

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