Ext 6.6: Esboce a região do plano e calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação em torno do eixo x da região do plano delimitada:
(b) por y=log (x), por y=0 e para x in[1, e^2].

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas y=ln(x), y=0 e as retas verticais x=1 e x=e^2.
Conteúdo: método dos discos (ou anéis), que usa
V = pi integrala^b [f(x)]^2 ,dx
para uma rotação em torno de x.

Passo 2

Esboço da região no plano xy:
— A curva y=ln(x) cruza o eixo x em x=1 (pois ln(1)=0) e atinge y=2 em x=e^2.
— A reta y=0 é o eixo x.
— A região fica acima de y=0, abaixo de y=ln(x), de x=1 até x=e^2.

Passo 3

Pelo método dos discos, o volume é
V = pi integral1^e^2 l(ln(x)r)^2 ,dx

Passo 4

Calculemos a antiderivada de l(ln(x)r)^2. Use integração por partes com
u = l(ln(x)r)^2, dv = dx,
então
du = 2,ln(x)x,dx, v = x
Assim,
integral l(ln(x)r)^2 dx = x,l(ln(x)r)^2 ;-; 2integral x,ln(x)x,dx = x,l(ln(x)r)^2 - 2integral ln(x),dx
Sabendo que integral ln(x),dx = xln(x)-x, concluímos
integral l(ln(x)r)^2 dx = x,l(ln(x)r)^2 - 2l(xln(x)-xr) + C = xl[(ln(x))^2 -2ln(x)+2r] + C

Passo 5

Avalie de 1 a e^2:
F(x) = xl[(ln(x))^2 -2ln(x)+2r]
Em x=e^2: ln(e^2)=2 leva a
F(e^2) = e^2l[4 -4 +2r] = 2e^2
Em x=1: ln(1)=0 leva a
F(1) = 1cdot[0-0+2] = 2
Logo
integral1^e^2 (ln(x))^2 dx = F(e^2)-F(1) = 2e^2 -2 = 2l(e^2-1r)
Multiplicando por pi,

Resposta

V = pi cdot 2l(e^2-1r) = 2pil(e^2-1r)

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