Ext 6.7: Esboce a região do plano e escreva integrais que calculem o volume do sólido de revolução obtido pela rotação em torno do eixo x e em torno do eixo y da região do plano delimitada por:
(a) y=1 /(x^2+5), y=0, x=0, x=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x e em torno do eixo y a região limitada por
y = 1x^2+5, y=0, x=0, x=2
O conteúdo é cálculo de volume de sólidos de revolução, usando o método dos discos (ou anéis) para rotação em torno de x e o método das cascas cilíndricas para rotação em torno de y.

Passo 2

Para visualizar, note que y=1/(x^2+5) é decrescente em [0,2], variando de 1/5 até 1/9. A região é a “área sob a curva” entre x=0 e x=2.

Passo 3

Rotação em torno do eixo x – método dos discos: cada fatia em x gera um disco de raio R(x)=y=1x^2+5. Assim,
Vx = pi integral0^2 l(R(x)r)^2 ,dx = pi integral0^2 1(x^2+5)^2,dx

Passo 4

Rotação em torno do eixo y – método das cascas cilíndricas: em cada fatia vertical em x, a casca tem raio x e altura y=1x^2+5. Logo,
Vy = 2pi integral0^2 xcdot 1x^2+5,dx

Resposta

Volume girando em torno de x:
Vx = pi integral0^2 1(x^2+5)^2,dx
Volume girando em torno de y:
Vy = 2pi integral0^2 xx^2+5,dx

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