Ext 6.9: Prove, utilizando somente o Princípio de Cavalieri, que o volume da esfera de raio R mais o volume do cone duplo com raio da base R e altura R é igual ao volume do cilindro de raio R e altura 2 R.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando apenas o Princípio de Cavalieri, que
o volume da esfera de raio R somado ao volume do cone duplo de raio da base R e altura R é igual ao volume do cilindro de raio R e altura 2R.
O conteúdo chave é o Princípio de Cavalieri: se dois sólidos têm a mesma altura e, para cada nível z, as áreas das seções transversais são iguais, então seus volumes são iguais.

Passo 2

Escolhemos o eixo z que passa pelo centro da esfera e pelo vértice comum do cone duplo, de modo que z varia de -R até R. Vamos comparar, para cada z, as áreas das seções transversais da esfera, do cone duplo e do cilindro.

Passo 3

Para a esfera de raio R, a seção a uma distância z do centro é um círculo de raio raizR^2 - z^2. Logo, sua área é
Aesfera(z)=pil(raizR^2 - z^2r)^2 =pil(R^2 - z^2r)

Passo 4

No cone duplo (dois cones congruentes com vértice no plano z=0 e bases em z=R e z=-R), a seção em z é um círculo de raio proporcional a |z|. Como o raio máximo é R em z=pm R, temos
Acone duplo(z) =pil(|z|r)^2 =pi,z^2

Passo 5

Somando as áreas das duas seções transversais obtém-se
Aesfera(z)+Acone duplo(z) =pil(R^2 - z^2r)+pi,z^2 =pi,R^2,
que é exatamente a área da seção transversal de um cilindro de raio R:
Acilindro(z)=pi,R^2

Passo 6

Pelo Princípio de Cavalieri, como os sólidos (esfer a+cone duplo) e o cilindro têm a mesma altura 2R e, para todo z, suas áreas de seção são iguais, eles têm o mesmo volume:
Vesfera+Vcone duplo =Vcilindro

Resposta

O volume da esfera de raio R somado ao volume do cone duplo de raio da base R e altura R é igual ao volume do cilindro de raio R e altura 2R, conforme demonstrado pelo Princípio de Cavalieri.

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