Ext 6.9: Prove, utilizando somente o Princípio de Cavalieri, que o volume da esfera de raio
mais o volume do cone duplo com raio da base
e altura
é igual ao volume do cilindro de raio
e altura
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando apenas o Princípio de Cavalieri, que
o volume da esfera de raio somado ao volume do cone duplo de raio da base
e altura
é igual ao volume do cilindro de raio
e altura
.
O conteúdo chave é o Princípio de Cavalieri: se dois sólidos têm a mesma altura e, para cada nível , as áreas das seções transversais são iguais, então seus volumes são iguais.
o volume da esfera de raio
O conteúdo chave é o Princípio de Cavalieri: se dois sólidos têm a mesma altura e, para cada nível
Passo 2
Escolhemos o eixo
que passa pelo centro da esfera e pelo vértice comum do cone duplo, de modo que
varia de
até
. Vamos comparar, para cada
, as áreas das seções transversais da esfera, do cone duplo e do cilindro.
Passo 3
Para a esfera de raio
, a seção a uma distância
do centro é um círculo de raio
. Logo, sua área é
Passo 4
No cone duplo (dois cones congruentes com vértice no plano
e bases em
e
), a seção em
é um círculo de raio proporcional a
. Como o raio máximo é
em
, temos
Passo 5
Somando as áreas das duas seções transversais obtém-se
que é exatamente a área da seção transversal de um cilindro de raio
:
Passo 6
Pelo Princípio de Cavalieri, como os sólidos (esfer
one duplo) e o cilindro têm a mesma altura
e, para todo
, suas áreas de seção são iguais, eles têm o mesmo volume:
Resposta
O volume da esfera de raio
somado ao volume do cone duplo de raio da base
e altura
é igual ao volume do cilindro de raio
e altura
, conforme demonstrado pelo Princípio de Cavalieri.