Numa fábrica, o custo total para a fabricação de x unidades de um certo produto durante um dia é C(x)=0.2 x^3-0.1 x^2+0.5 x+600 reais. Após um dia de trabalho, depois de t horas foram produzidas x(t)=10 raizt^2+4 unidades, calcule a taxa de variação do custo total em relação ao tempo, 3 horas após iniciada a produção.

Passo 1

O enunciado dá o custo total em função da produção x durante um dia como
C(x)=0.2,x^3-0.1,x^2+0.5,x+600
e a produção após t horas como
x(t)=10raizt^2+4,
Queremos a taxa de variação dCdt em t=3 horas. Para isso vamos usar derivadas e a regra da cadeia.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada de C em função de x:
dCdx=0.6,x^2-0.2,x+0.5,

Passo 3

Agora derivamos x(t) em relação a t. Como x(t)=10,(t^2+4)^1/2, temos
dxdt =10cdot12(t^2+4)^-1/2cdot 2t =10,traizt^2+4,

Passo 4

Pela regra da cadeia,
dCdt =dCdx,dxdt,

Passo 5

Em t=3:
x(3)=10raiz3^2+4=10raiz13,,
dCdx|x=10raiz13 =0.6,(10raiz13)^2-0.2,(10raiz13)+0.5 =780.5-2raiz13,,
dxdt|t=3 =103raiz13 =30raiz13,
Então
dCdt|t=3 =(780.5-2raiz13);30raiz13 approx6435.8 reais/hora

Resposta

A taxa de variação do custo em t=3 horas é aproximadamente 6436 reais por hora.

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