Faça um esboço da curva da função exponencial ou logarítmica dada sem usar os métodos do cálculo.
Passo 1
O enunciado pede para fazermos um esboço da curva de
sem usar derivadas nem outros métodos de cálculo. Vamos usar as propriedades básicas de logaritmos e raciocínio sobre inversas de exponenciais.
Passo 2
Determine o domínio e a imagem de
e a assíntota vertical:
O domínio de
O domínio de
é
, pois só se pode calcular logaritmo de
.
A imagem é .
Como ,
, de modo que há uma assíntota vertical em
A imagem é
Como
Passo 3
Calcule pontos notáveis que vão guiar o esboço:
Portanto os pontos
,
e
estão no gráfico.
Passo 4
Use o fato de que
é a inversa de
:
– A função é estritamente crescente em todo o domínio.
– À medida que ,
, mas cresce devagar.
– À medida que ,
, aproximando-se do eixo
sem tocá-lo.
– A função é estritamente crescente em todo o domínio.
– À medida que
– À medida que
Passo 5
Agora esboce a curva ligando suavemente os pontos, aproximando-se de
como assíntota e subindo sem limites:
ASCII-art do gráfico:
ASCII-art do gráfico:
y
\uparrow
\(2\) | *
| /
\(1\) | *------/
| |
\(0\) *------\bullet------\bullet\———\(\to\) x
\(0\,1\,3\)
Aqui:
\bullet\ em e
;
\bullet\ em
- em
(abaixo de zero, não mostrado na escala acima) e marcando a curva que vai a quando .
Resposta
O esboço acima mostra a curva de
com domínio
, assíntota vertical em
, e pontos notáveis em
,
e
.