Faça um esboço da curva da função exponencial ou logarítmica dada sem usar os métodos do cálculo.
f(x)=\log _{3} x

Passo 1

O enunciado pede para fazermos um esboço da curva de f(x)=\log_{3}x sem usar derivadas nem outros métodos de cálculo. Vamos usar as propriedades básicas de logaritmos e raciocínio sobre inversas de exponenciais.

Passo 2

Determine o domínio e a imagem de f e a assíntota vertical:
O domínio de
f(x)=\log_{3}x
é (0,\infty), pois só se pode calcular logaritmo de x>0.
A imagem é (-\infty,\infty).
Como x\to0^+, \log_{3}x\to-\infty, de modo que há uma assíntota vertical em
x=0.

Passo 3

Calcule pontos notáveis que vão guiar o esboço:
f(1)=\log_{3}1=0, \quad f(3)=\log_{3}3=1, \quad f\bigl(\tfrac13\bigr)=\log_{3}\tfrac13=-1.
Portanto os pontos \bigl(1,0\bigr), \bigl(3,1\bigr) e \bigl(\tfrac13,-1\bigr) estão no gráfico.

Passo 4

Use o fato de que \log_{3}x é a inversa de 3^x:
– A função é estritamente crescente em todo o domínio.
– À medida que x\to\infty, \log_{3}x\to\infty, mas cresce devagar.
– À medida que x\to0^+, \log_{3}x\to-\infty, aproximando-se do eixo y sem tocá-lo.

Passo 5

Agora esboce a curva ligando suavemente os pontos, aproximando-se de x=0 como assíntota e subindo sem limites:

ASCII-art do gráfico:
    y
    \uparrow
\(2\)   |               *
    |              /
\(1\)   |      *------/    
    |      |              
\(0\)   *------\bullet------\bullet\———\(\to\) x
    \(0\,1\,3\)
Aqui:
\bullet\ em (1,0) e (3,1);
  • em \left(\tfrac{1}{3},-1\right) (abaixo de zero, não mostrado na escala acima) e marcando a curva que vai a -\infty quando x\to0^+.

Resposta

O esboço acima mostra a curva de \log_{3}x com domínio (0,\infty), assíntota vertical em x=0, e pontos notáveis em \bigl(\tfrac13,-1\bigr), (1,0) e (3,1).

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