(Fatec-SP) Se x é um número real positivo tal que log 2(6+2+23+29+ldots)=log 2 x-log 4 x,
então log 3 x é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Passo 1

O enunciado diz que existe x>0 tal que
log2l(6 + 2 + tfrac23 + tfrac29 + cdotsr) = log2x - log4x
O que precisamos:
  1. Somar a série geométrica 2 + tfrac23 + tfrac29 + cdots.
  2. Usar a relação entre log4x e log2x.
  3. Resolver a equação em x e, por fim, calcular log3x.

Passo 2

Calculemos a soma da série geométrica
S = 2 + 23 + 29 + cdots = sumk=0^infty23^k
Como a soma de uma série geométrica sumk=0^inftyar^k é tfraca1-r quando |r|<1, temos
S = 21 - tfrac13 = 2tfrac23 = 3
Logo o argumento do logaritmo é
6 + S = 6 + 3 = 9

Passo 3

Reescrevemos log4x em função de log2x:
log4x = log2xlog24 = log2x2
Portanto
log2x - log4x = log2x - log2x2 = 12,log2x
A equação dada vira
log29 = 12,log2x

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 2:
log2x = 2,log29 = log2(9^2) = log281
Logo x = 81. Assim
log3x = log381 = 4

Resposta

4

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