(ITA-SP) Determine os valores de alpha e gamma que anulem o determinante abaixo.
|lcccl1 & 0 & 1 & 1 & 0 alpha^2 & 0 & 14 & 19 & 0 0 & 15 & 0 & 0 & gamma^2 alpha & 0 & 12 & -13 & 0 0 & 125 & 0 & 0 & gamma|

Passo 1

O enunciado pede os valores de alpha e de gamma que fazem o determinante da matriz
A= 1 & 0 & 1 & 1 & 0 alpha^2 & 0 & tfrac14 & tfrac19 & 0 0 & tfrac15 & 0 & 0 & gamma^2 alpha & 0 & tfrac12 & -tfrac13 & 0 0 & tfrac125 & 0 & 0 & gamma
ser igual a zero. Vamos usar a ideia de partição em blocos para fatorar esse determinante.

Passo 2

Reagrupando linhas 1,2,4 e 3,5 e colunas 1,3,4 e 2,5, nota-se que
Asim B & 0[3pt] 0 & E ,
onde
B= 1 & 1 & 1 alpha^2 & tfrac14 & tfrac19 alpha & tfrac12 & -tfrac13 , E= tfrac15 & gamma^2[4pt] tfrac125 & gamma
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det(A)=det(B),det(E) ]

Passo 3

Calculamos det(B) por expansão:
det(B) = 1 & 1 & 1 alpha^2 & tfrac14 & tfrac19 alpha & tfrac12 & -tfrac13 =30alpha^2-5alpha-536
Para anular, resolvemos
30alpha^2-5alpha-5=0 ;Longrightarrow; 6alpha^2-alpha-1=0 ;Longrightarrow; alpha=1pm512 ;Longrightarrow; alpha=12;ou;alpha=-13

Passo 4

Calculamos det(E):
det(E) = tfrac15 & gamma^2[3pt] tfrac125 & gamma =gamma5-gamma^225 =gamma(5-gamma)25
Para anular, basta
gamma(5-gamma)=0 ;Longrightarrow; gamma=0;ou;gamma=5 ]

Resposta

alpha=tfrac12 ou alpha=-tfrac13;
gamma=0 ou gamma=5.

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