(Fatec-SP) Seja
a função quadrática, de
em
, definida por
, na qual
é uma constante real.
Logo,
, para todo
real, se, e somente se,
a)
.
b)
.
c)
.
d)
ou k
.
e)
ou
.
Logo,
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado define a função quadrática
dada por
e pede os valores de
tais que
para todo
. O conteúdo envolvido é a condição de positividade de uma parábola: é preciso que o coeficiente quadrático seja positivo e que o discriminante seja negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar
na forma padrão
. Expandindo,
Logo,
Passo 3
Para que
em todo
, precisamos de:
-
, pois a parábola deve abrir para cima. -
, para que não haja raízes reais e, portanto, nunca zere ou mude de sinal.
O discriminante é
Passo 4
Impondo
:
Impondo
:
Passo 5
Combinando
e
ou
, só sobra
pois a alternativa
violaria
. Assim, a condição necessária e suficiente é
.
Resposta
b)
.