(Fatec-SP) Seja f a função quadrática, de R em R, definida por f(x)=(k+3) cdot(x^2+1)+4 x, na qual k é uma constante real.
Logo, f(x)>0, para todo x real, se, e somente se,
a) k>-3.
b) k>-1.
c) -3<k<1.
d) k<1 ou k >5.
e) k<-5 ou k>-1.

Passo 1

O enunciado define a função quadrática f:RtoR dada por
f(x)=(k+3)(x^2+1)+4x
e pede os valores de k tais que f(x)>0 para todo xinR. O conteúdo envolvido é a condição de positividade de uma parábola: é preciso que o coeficiente quadrático seja positivo e que o discriminante seja negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar f(x) na forma padrão ax^2+bx+c. Expandindo,
f(x)=(k+3)x^2+4x+(k+3)
Logo,
a=k+3, b=4, c=k+3

Passo 3

Para que f(x)>0 em todo R, precisamos de:
  1. a>0, pois a parábola deve abrir para cima.
  2. De<a<0, para que não haja raízes reais e, portanto, f(x) nunca zere ou mude de sinal.
O discriminante é
De<a = b^2 - 4ac = 4^2 - 4,(k+3),(k+3) = 16 - 4(k+3)^2

Passo 4

Impondo a>0:
k+3>0 Longrightarrow k>-3
Impondo De<a<0:
16 - 4(k+3)^2 <0 Long<=ftrightarrow 4 < (k+3)^2 Long<=ftrightarrow |k+3|>2
Long<=ftrightarrow k+3>2ou k+3<-2 Long<=ftrightarrow k>-1ou k<-5

Passo 5

Combinando k>-3 e l(k>-1 ou k<-5r), só sobra
k>-1,
pois a alternativa k<-5 violaria k>-3. Assim, a condição necessária e suficiente é k>-1.

Resposta

b) k>-1.

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