(ITA-SP) Sejam
e
números reais tais que
e
são racionais. Das afirmações:
I. Se
é racional ou
é racional, então
é racional;
II. Se
é racional, então
é racional;
III. Se
é racional, então
e
são racionais, é (são) sempre verdadeira(s)
a) apenas I.
c) apenas III.
e) I, II e III.
b) apenas II.
d) apenas I e II.
I. Se
II. Se
III. Se
a) apenas I.
c) apenas III.
e) I, II e III.
b) apenas II.
d) apenas I e II.
Passo 1
O enunciado diz que
são reais tais que
Precisamos verificar se as afirmações I, II e III são sempre verdadeiras. O conteúdo que vamos usar é a propriedade de fechamento dos números racionais: soma, subtração e multiplicação por racional (por exemplo
) de números racionais continuam racionais.
Passo 2
Provar I: “Se
é racional ou
é racional, então
é racional.”
Suponha . Como
, temos
Suponha
logo
. Mas também sabemos que
, daí
Se
, raciocínio análogo mostra que
e daí vem
. Logo I é sempre verdadeira.
Passo 3
Provar II: “Se
é racional, então
é racional.”
Como e assumimos
, basta calcular
Como
Logo II é sempre verdadeira.
Passo 4
Provar III: “Se
é racional, então
e
são racionais.”
De II já sabemos que . Como também
, podemos escrever
De II já sabemos que
Cada uma dessas combinações é soma, subtração e multiplicação por
de números racionais, portanto resulta em número racional. Assim, III é sempre verdadeira.
Resposta
(e) I, II e III.