(ITA-SP) Sejam r1, r2 e r3 números reais tais que r1-r2 e r1+r2+r3 são racionais. Das afirmações:
I. Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional;
II. Se r3 é racional, então r1+r2 é racional;
III. Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais, é (são) sempre verdadeira(s)
a) apenas I.
c) apenas III.
e) I, II e III.
b) apenas II.
d) apenas I e II.

Passo 1

O enunciado diz que r1,r2,r3 são reais tais que
r1-r2inQ e r1+r2+r3inQ
Precisamos verificar se as afirmações I, II e III são sempre verdadeiras. O conteúdo que vamos usar é a propriedade de fechamento dos números racionais: soma, subtração e multiplicação por racional (por exemplo tfrac12) de números racionais continuam racionais.

Passo 2

Provar I: “Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional.”
Suponha r1inQ. Como r1-r2inQ, temos
r2=r1-(r1-r2)in Q-Q=Q,
logo r1+r2inQ. Mas também sabemos que r1+r2+r3inQ, daí
r3=(r1+r2+r3) - (r1+r2)inQ-Q=Q
Se r2inQ, raciocínio análogo mostra que r1inQ e daí vem r3inQ. Logo I é sempre verdadeira.

Passo 3

Provar II: “Se r3 é racional, então r1+r2 é racional.”
Como r1+r2+r3inQ e assumimos r3inQ, basta calcular
r1+r2=(r1+r2+r3) - r3inQ-Q=Q
Logo II é sempre verdadeira.

Passo 4

Provar III: “Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais.”
De II já sabemos que r1+r2inQ. Como também r1-r2inQ, podemos escrever
r1=(r1+r2)+(r1-r2)2, r2=(r1+r2)-(r1-r2)2
Cada uma dessas combinações é soma, subtração e multiplicação por tfrac12 de números racionais, portanto resulta em número racional. Assim, III é sempre verdadeira.

Resposta

(e) I, II e III.

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