(Fatec-SP) Sejam a e b números reais tais que o polinômio P(x)=x^4+2 a x+b é divisível pelo polinômio (x-1)^2. O resto da divisão de P(x) pelo monômio D(x)=x é:
a) -2
b) -1
c) 1
d) 3

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=x^4+2a,x+b
que é divisível por (x-1)^2. Isso significa que x=1 é raiz dupla de P, logo devemos ter
P(1)=0 e P'(1)=0
Além disso, o resto da divisão de P(x) por x é simplesmente P(0).

Passo 2

Calculemos P(1) e imponhamos P(1)=0:
P(1)=1^4+2acdot1+b=1+2a+b=0 Longrightarrow b=-1-2a
Em seguida, derivamos
P'(x)=4x^3+2a
e impomos P'(1)=0:
P'(1)=4cdot1^3+2a=4+2a=0 Longrightarrow a=-2

Passo 3

Substituindo a=-2 em b=-1-2a obtemos
b=-1-2cdot(-2)=-1+4=3

Passo 4

O resto da divisão de P(x) por x é
P(0)=b=3

Resposta

3

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