(Unesp-SP) Considere o número complexo z=cos pi6+i sen pi6. O valor de z^3+z^6+z^12 é:
a) -i
b) 12+raiz32 i
c) i-2
d) i

Passo 1

O enunciado fornece o número complexo
z=cosl(tfracpi6r)+isinl(tfracpi6r)
e pede o valor de z^3+z^6+z^12. O conteúdo envolve representação trigonométrica de números complexos e o teorema de De Moivre para potências.

Passo 2

Usamos a forma polar e o teorema de De Moivre. Primeiro, escrevemos
z=cosl(tfracpi6r)+isinl(tfracpi6r)=e^,ipi/6.
O teorema de De Moivre afirma que
(costheta+isintheta)^n=cos(ntheta)+isin(ntheta),
ou equivalentemente
l(e^,ithetar)^n=e^,i ntheta.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso para n=3,6,12:
z^3=e^,i(3pi/6)=e^,ipi/2=cosl(tfracpi2r)+isinl(tfracpi2r)=i,
z^6=e^,i(6pi/6)=e^,ipi=cos(pi)+isin(pi)=-1,
z^12=e^,i(12pi/6)=e^,i2pi=cos(2pi)+isin(2pi)=1

Passo 4

Somando esses resultados:
z^3+z^6+z^12=i+(-1)+1=i

Resposta

i

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