(Unesp-SP) Transforme o polinômio P(x) equiv x^5+x^2-x-1 em um produto de dois polinômios, sendo um deles do 3 º grau.

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio
P(x)equiv x^5+x^2-x-1
de modo a escrevê-lo como produto de dois polinômios, um de grau 3 e outro de grau 2. Vamos usar o Teorema do Resto (raízes racionais) e divisão sintética para encontrar fatores lineares e, em seguida, agrupar em fatores de grau 2 e grau 3.

Passo 2

Buscamos raízes racionais em pm1. Testando x=1:
P(1)=1^5+1^2-1-1=1+1-1-1=0
Logo x-1 é fator. Dividindo P(x) por x-1 por divisão sintética, obtemos o quociente
x^4+x^3+x^2+2x+1

Passo 3

Agora fatoramos o polinômio de grau 4
Q(x)=x^4+x^3+x^2+2x+1
Testando x=-1:
Q(-1)=(-1)^4+(-1)^3+(-1)^2+2(-1)+1=1-1+1-2+1=0,
logo x+1 é fator. Dividindo Q(x) por x+1 por divisão sintética, obtemos
x^3+x+1

Passo 4

Reunindo tudo,
P(x)=(x-1)(x+1)(x^3+x+1)
Como queremos um fator de grau 3 e outro de grau 2, agrupamos os lineares:
(x-1)(x+1)=x^2-1

Resposta

P(x)=(x^2-1),(x^3+x+1)

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