O fato de uma função ser derivável em um ponto está relacionado com a continuidade da função nesse ponto? Como?
Passo 1
O enunciado pergunta se a existência da derivada de uma função
num ponto
implica algo sobre a continuidade de
em
, e vice-versa. O conteúdo envolvido é cálculo diferencial: precisamos usar as definições de derivada e de continuidade.
Passo 2
Recordando definições:
A função é derivável em
se existir o limite
A função
A função
é contínua em
se
Passo 3
Mostramos que derivabilidade implica continuidade. Considere
Ao fazermos
, a razão
tende a
(pela derivabilidade) e
tende a
. Logo
o que mostra
. Assim,
é contínua em
.
Passo 4
A recíproca não vale: continuidade não garante derivabilidade. Exemplo clássico é
em
. Aqui
, logo
é contínua, mas
não tem limite único ao fazermos
e
. Portanto
não é derivável em
.
Resposta
Sim. Se
é derivável em um ponto
, então
é necessariamente contínua em
. Porém, uma função pode ser contínua num ponto sem ser derivável ali (como
em
).