O fato de uma função ser derivável em um ponto está relacionado com a continuidade da função nesse ponto? Como?

Passo 1

O enunciado pergunta se a existência da derivada de uma função f num ponto a implica algo sobre a continuidade de f em a, e vice-versa. O conteúdo envolvido é cálculo diferencial: precisamos usar as definições de derivada e de continuidade.

Passo 2

Recordando definições:
A função f é derivável em a se existir o limite
\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a).
A função f é contínua em a se
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).

Passo 3

Mostramos que derivabilidade implica continuidade. Considere
f(a+h)-f(a) = h\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Ao fazermos h\to0, a razão \frac{f(a+h)-f(a)}{h} tende a f'(a) (pela derivabilidade) e h tende a 0. Logo
\lim_{h\to0}\bigl(f(a+h)-f(a)\bigr) = \lim_{h\to0}h\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}{h} =0\cdot f'(a)=0,
o que mostra \lim_{h\to0}f(a+h)=f(a). Assim, f é contínua em a.

Passo 4

A recíproca não vale: continuidade não garante derivabilidade. Exemplo clássico é
f(x)=|x|
em x=0. Aqui
\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0), logo f é contínua, mas
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{|h|}{h}
não tem limite único ao fazermos h\to0^+ e h\to0^-. Portanto f não é derivável em 0.

Resposta

Sim. Se f é derivável em um ponto a, então f é necessariamente contínua em a. Porém, uma função pode ser contínua num ponto sem ser derivável ali (como f(x)=|x| em x=0).

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