Exercício 7-7 Divida (isto é, dê o quociente e o resto):
64 x^6-16 x^3+1 por 4 x^2-4 x+1.

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio
P(x)=64x^6-16x^3+1
pelo polinômio
D(x)=4x^2-4x+1
O método a usar é a divisão longa de polinômios, repetindo: (i) dividir o termo de maior grau do resto pelo termo de maior grau de D(x), (ii) multiplicar D(x) pelo monômio obtido, (iii) subtrair e trazer para baixo o próximo termo.

Passo 2

O termo líder de P(x) é 64x^6. Dividimos
64x^64x^2=16x^4
Multiplicando o divisor por 16x^4 e subtraindo de P(x):
16x^4,(4x^2-4x+1)=64x^6-64x^5+16x^4,
(64x^6+0x^5+0x^4)-l(64x^6-64x^5+16x^4r) =64x^5-16x^4
Descemos então o termo -16x^3, ficando o resto parcial
R1(x)=64x^5-16x^4-16x^3

Passo 3

Agora o termo líder de R1(x) é 64x^5. Dividimos
64x^54x^2=16x^3
Multiplicando e subtraindo:
16x^3,(4x^2-4x+1)=64x^5-64x^4+16x^3,
(64x^5-16x^4-16x^3)-l(64x^5-64x^4+16x^3r) =48x^4-32x^3
Descemos o termo de grau dois (coeficiente zero), dando
R2(x)=48x^4-32x^3+0x^2

Passo 4

O termo líder de R2(x) é 48x^4. Dividimos
48x^44x^2=12x^2
Multiplicando e subtraindo:
12x^2,(4x^2-4x+1)=48x^4-48x^3+12x^2,
(48x^4-32x^3+0x^2)-l(48x^4-48x^3+12x^2r) =16x^3-12x^2
Descemos o termo de grau um (coeficiente zero), ficando
R3(x)=16x^3-12x^2+0x

Passo 5

O termo líder de R3(x) é 16x^3. Dividimos
16x^34x^2=4x
Multiplicando e subtraindo:
4x,(4x^2-4x+1)=16x^3-16x^2+4x,
(16x^3-12x^2+0x)-l(16x^3-16x^2+4xr) =4x^2-4x
Descemos o termo constante +1, obtendo
R4(x)=4x^2-4x+1
Por fim, dividimos
4x^24x^2=1,
1cdot(4x^2-4x+1)=4x^2-4x+1,
R4(x)-l(4x^2-4x+1r)=0
Assim o resto final é zero.

Resposta

Quociente: 16x^4+16x^3+12x^2+4x+1
Resto: 0

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