Fatore e simplifique a expressão trigonométrica 1-tan ^4 theta.

Passo 1

O enunciado pede para fatorar e simplificar a expressão
1 - tan^4theta
Aqui vamos usar a técnica de diferença de quadrados e a identidade trigonométrica
1 + tan^2theta = sec^2theta

Passo 2

Reconhecemos que 1 - tan^4theta é uma diferença de quadrados, pois
1 - tan^4theta = (1)^2 - (tan^2theta)^2
Logo, aplicando a^2-b^2=(a-b)(a+b), obtemos
1 - tan^4theta = (1 - tan^2theta),(1 + tan^2theta)

Passo 3

Agora usamos a identidade
1 + tan^2theta = sec^2theta
substituindo no segundo fator:
1 - tan^4theta = (1 - tan^2theta),sec^2theta

Passo 4

Podemos ainda fatorar o primeiro termo 1 - tan^2theta como outra diferença de quadrados:
1 - tan^2theta = (1 - tantheta)(1 + tantheta)
Assim, a fatoração completa fica
1 - tan^4theta = (1 - tantheta),(1 + tantheta),sec^2theta

Resposta

1 - tan^4theta = (1 - tantheta),(1 + tantheta),sec^2theta

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