Determine que tipo de simetria (se houver) é evidenciado no gráfico de y=x^5-x^3+x-5.

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual simetria, se houver, o gráfico da função
f(x)=x^5 - x^3 + x - 5
apresenta. Vamos revisar rapidamente os tipos básicos de simetria em funções:
– Simetria par (eixo y): f(-x)=f(x).
– Simetria ímpar (origem): f(-x)=-f(x).
– Simetria central em torno de um ponto (0,a): f(-x)+f(x)=2a.

Passo 2

Calcular f(-x).
f(-x)=(-x)^5 - (-x)^3 + (-x) - 5
f(-x)=-x^5 + x^3 - x - 5

Passo 3

Comparar com f(x) e -f(x):
f(x)=x^5 - x^3 + x - 5, -f(x)=-x^5 + x^3 - x + 5
Como
f(-x)=-x^5 + x^3 - x - 5
não coincide nem com f(x) nem com -f(x), a função não é par nem ímpar.

Passo 4

Testar simetria central em torno de (0,a) calculando f(-x)+f(x):
f(-x)+f(x)=(-x^5 + x^3 - x - 5) + (x^5 - x^3 + x - 5) = -10
Temos f(-x)+f(x)= -10 = 2cdot(-5). Portanto há simetria central em torno do ponto
(0,a) com 2a=-10, ou seja, a=-5.

Resposta

O gráfico de y = x^5 - x^3 + x - 5 é simétrico em relação ao ponto (0,-5).

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