(FEI-SP) O módulo do número complexo z=cos (2 a)-i cdot sen(2 a), com a in R, é igual a:
a) -i
b) i^9
b) -1
d) i^8
e) 2

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z = cos(2a) ;-; i ,sen(2a),
com ainR, e pede o seu módulo lvert zrvert. O conteúdo aqui é o cálculo de módulo de um número complexo usando a definição clássica.

Passo 2

Lembramos que, para um número complexo genérico x + i y, vale
lvert x + i yrvert = raizx^2 + y^2
No nosso caso, a parte real de z é x = cos(2a) e a parte imaginária é y = -,sen(2a).

Passo 3

Aplicando a fórmula do módulo em z, obtemos
lvert zrvert = raizl(cos(2a)r)^2 + l(-sen(2a)r)^2 = raizcos^2(2a) + sen^2(2a)
Pelo identidade trigonométrica cos^2(theta)+sen^2(theta)=1, concluímos
lvert zrvert = raiz1 = 1

Passo 4

Resta apenas comparar com as opções. Note que
i^8 = l(i^4r)^2 = 1^2 = 1,
enquanto as outras alternativas não correspondem a 1.

Resposta

d) i^8

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