(Unesp-SP) Considere os números complexos w=4+2 i e z=3 a+4 a i, onde a é um número real positivo e i indica a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de um triângulo é |z| e a base é a parte real de z cdot w, determine a de modo que a área do triângulo seja 90 cm^2.

Passo 1

O enunciado dá os números complexos
w = 4 + 2i
e
z = 3a + 4a,i,
onde a>0. Diz que a altura de um triângulo vale lvert zrvert e a base vale a parte real de zcdot w. Queremos a tal que a área seja 90 cm^2. Vamos usar:
1. Módulo de número complexo para a altura.
2. Produto de complexos e extração da parte real para a base.
3. Fórmula da área do triângulo tfracbasetimesa<ura2.

Passo 2

Calcular o módulo de z. Como
z = a,(3 + 4i),
temos
lvert zrvert = a;lvert 3 + 4irvert = a;raiz3^2 + 4^2 = acdot 5 = 5a
Logo a altura do triângulo é 5a.

Passo 3

Calcular zcdot w e extrair a parte real.
zcdot w = (3a + 4a,i),(4 + 2i) = 12a + 6a,i + 16a,i + 8a,i^2 = (12a - 8a) + 22a,i = 4a + 22a,i
A parte real de zcdot w é, portanto, 4a. Essa será a base do triângulo.

Passo 4

Aplicar a fórmula da área de um triângulo:
Área = basetimesa<ura2 = (4a),(5a)2 = 20a^22 = 10a^2 Á
Queremos 10a^2 = 90. Assim,
a^2 = 9 Longrightarrow a = 3
(negativo não vale porque a>0).

Resposta

a = 3.

Exercícios de Livros Relacionados