(UFF-RJ) Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela que indica uma afirmação incorreta.
a) 0 conjugado de é .
b)
c) é raiz da equação .
d)
e)
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre o número complexo e pede para indicar qual delas é incorreta. Vamos usar as definições de conjugado, módulo, inverso e operações com complexos para testar cada item.
Passo 2
Verificamos o conjugado e o módulo de .
O conjugado de um número é . Aqui e , logo
o que confirma a alternativa (a).
O módulo de z=a+bi é lvert zrvert=raiza^2+b^2. Então
lvert 1+irvert=raiz1^2+1^2=raiz2,
o que confirma a alternativa (b).
Passo 3
Calculamos o quadrado de 1+i para testar as alternativas (c) e (e).
(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i
Com isso vemos que
– (1+i)^2=2i, confirmando (e).
– Para a equação z^2-2z+2=0, ao substituir z=1+i obtemos
(1+i)^2-2(1+i)+2 = 2i -2 -2i +2 = 0,
confirmando (c).
Passo 4
Para a alternativa (d) achamos o inverso de 1+i. A fórmula geral é
z^-1=zlvert zrvert^2
Aqui 1+i=1-i e lvert 1+irvert^2=2, então
(1+i)^-1=1-i2neq 1-i
Portanto a afirmação (d) está incorreta.
Resposta
(d)
Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 6: Complexos, polinômios e equações - 8ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 22