(Fesp-95) Assinale as alternativas corretas:
0) Se f: Re-1 Re-3 definida por f(x)=3 x+1x-1, então f^-1=x+1x-3.
  1. Se f é uma função tal que f(x+y)=f(x) cdot f(y) e f(1)=3, então f(n)=3^n.
  2. Se f(x+2)=x-1, então f(x) é uma função ímpar.
  3. Se fé uma função par e g(x)=1 / f(x), então f é uma função par para todo x pertencente ao domínio de g.
  4. Se f(g(x))=2 x-1 e f(x)=x+1, então g(x) =x-1.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre funções e pede para identificarmos quais são verdadeiras. Vamos analisar cada uma separadamente usando conceitos de inversa de função, equações funcionais, paridade e composição.

Passo 2

Analisando a afirmação 0: fcolon Rsetminus1toRsetminus3 é dada por
f(x)=3x+1x-1
Para achar f^-1, escrevemos y=tfrac3x+1x-1 e resolvemos para x:
y(x-1)=3x+1 Rightarrow yx-y=3x+1 Rightarrow yx-3x=y+1 Rightarrow x(y-3)=y+1 Rightarrow x=y+1y-3
Portanto
f^-1(x)=x+1x-3,
logo a afirmação 0 é correta.

Passo 3

Analisando a afirmação 1: f satisfaz
f(x+y)=f(x),f(y), f(1)=3
Padrão de Cauchy-exponencial: basta usar indução em inteiros positivos. Primeiro f(0) satisfaz
f(0)=f(0+0)=f(0),f(0)Rightarrow f(0)=1
Para ninN,
f(n)=f(1+1+cdots+1)=f(1)^n=3^n
Logo a afirmação 1 é correta (pelo menos para n inteiro).

Passo 4

Analisando a afirmação 2: diz que se
f(x+2)=x-1
então f seria ímpar. Defina u=x+2, então x=u-2 e
f(u)=u-2-1=u-3,
ou seja
f(x)=x-3
Verificando ímpar:
f(-x)=-x-3, -,f(x)=-(x-3)=-x+3,
e -x-3neq -x+3. Logo f não é ímpar, a afirmação 2 é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação 3 (corrigindo o texto para: “se f é par e g(x)=1/f(x), então g é par”): como f é par,
f(-x)=f(x),
logo
g(-x)=1f(-x)=1f(x)=g(x)
Portanto g é par e a afirmação 3 (interpretada corretamente) é verdadeira.

Passo 6

Analisando a afirmação 4: querem g tal que
f(g(x))=2x-1 e f(x)=x+1
Então
f(g(x))=g(x)+1=2x-1 Rightarrow g(x)=2x-2
Não é x-1, logo a afirmação 4 é falsa.

Resposta

As afirmações corretas são 0, 1 e 3.

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