(FGV-SP) Arestas opostas de um tetraedro são arestas que não têm ponto em comum. Um inseto anda sobre a superfície de um tetraedro regular de aresta 10 cm partindo do ponto médio de uma aresta e indo para o ponto médio de uma aresta oposta à aresta de onde partiu. Se o percurso foi feito pelo caminho mais curto possível, então o inseto percorreu a distância, em centímetros, igual a:
a) 10 raiz3
b) 15
c) 10 raiz2
d) 10
e) 5 raiz3

Passo 1

O enunciado pede a distância mais curta sobre a superfície de um tetraedro regular de aresta 10 cm, entre o ponto médio M de uma aresta AB e o ponto médio N da aresta oposta CD. O conteúdo aqui é geodésica em superfícies poligonais: basta “desdobrar” (unfold) as faces pelas quais o inseto deve passar e medir a distância euclidiana entre as imagens de M e N no plano.

Passo 2

O caminho mais curto liga M a N atravessando duas faces que formam uma sequência de triângulos equiláteros: basta escolher um par de faces que toquem a aresta AB e a aresta CD de modo a formar um “faixa” de dois triângulos. Por simetria, podemos usar as faces ABC e BCD.

Passo 3

Vamos posicionar o triângulo ABC no plano:
A=(0,0), B=(10,0), C=l(5,;5raiz3r)
O ponto médio de AB é
M=l(tfrac0+102,;0r)=(5,0)

Passo 4

Agora “colamos” o triângulo BCD ao longo de BC de modo que ele fique no plano do triângulo ABC, mas do outro lado da reta BC. Isso equivale a construir o ponto D' tal que BCD' seja equilátero e D' esteja no lado oposto de BC em relação a A. Uma forma prática é rotacionar o vetor BC em -60^circ em torno de B:
B=(10,0), C=(5,5raiz3), BC=(-5,5raiz3)
Rotacionando por -60^circ (fator e^-ipi/3) obtemos
D' = B + l(-5+5iraiz3r),(1/2 - iraiz3/2) = (15,;5raiz3)

Passo 5

O ponto médio N de CD corresponde no desdobramento ao ponto médio N' de C e D'. Logo
N' = l(tfrac5+152,;tfrac5raiz3 + 5raiz32r) = l(10,;5raiz3r)

Passo 6

No plano, a distância de M=(5,0) até N'=(10,5raiz3) é
raiz(10-5)^2 + (5raiz3 - 0)^2 = raiz25 + 75 = raiz100 = 10

Resposta

10

Exercícios de Livros Relacionados