(FGV-SP) Arestas opostas de um tetraedro são arestas que não têm ponto em comum. Um inseto anda sobre a superfície de um tetraedro regular de aresta 10 cm partindo do ponto médio de uma aresta e indo para o ponto médio de uma aresta oposta à aresta de onde partiu. Se o percurso foi feito pelo caminho mais curto possível, então o inseto percorreu a distância, em centímetros, igual a:
a)
b) 15
c)
d) 10
e)
Passo 1
O enunciado pede a distância mais curta sobre a superfície de um tetraedro regular de aresta cm, entre o ponto médio de uma aresta e o ponto médio da aresta oposta . O conteúdo aqui é geodésica em superfícies poligonais: basta “desdobrar” (unfold) as faces pelas quais o inseto deve passar e medir a distância euclidiana entre as imagens de e no plano.
Passo 2
O caminho mais curto liga a atravessando duas faces que formam uma sequência de triângulos equiláteros: basta escolher um par de faces que toquem a aresta e a aresta de modo a formar um “faixa” de dois triângulos. Por simetria, podemos usar as faces e .
Passo 3
Vamos posicionar o triângulo no plano:
O ponto médio de é
Passo 4
Agora “colamos” o triângulo ao longo de de modo que ele fique no plano do triângulo , mas do outro lado da reta . Isso equivale a construir o ponto tal que seja equilátero e esteja no lado oposto de em relação a . Uma forma prática é rotacionar o vetor em -60^circ em torno de B:
B=(10,0), C=(5,5raiz3), BC=(-5,5raiz3)
Rotacionando por -60^circ (fator e^-ipi/3) obtemos
D' = B + l(-5+5iraiz3r),(1/2 - iraiz3/2) = (15,;5raiz3)
Passo 5
O ponto médio N de CD corresponde no desdobramento ao ponto médio N' de C e D'. Logo
N' = l(tfrac5+152,;tfrac5raiz3 + 5raiz32r) = l(10,;5raiz3r)
Passo 6
No plano, a distância de M=(5,0) até N'=(10,5raiz3) é
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo Questões de vestobulares.Questões de vestobulares - Ex. 8