(ITA-SP) Um diedro mede 120^circ. A distância da aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume 4 raiz3 pi cm^3 que tangencia as faces do diedro é, em cm, igual a:
a) 3 raiz3
b) 3 raiz2
c) 2 raiz3
d) 2 raiz2
e) 2

Passo 1

O enunciado diz que temos um diedro de medida ,120^circ e uma esfera de volume 4raiz3,pi c m^3 que tangencia as duas faces do diedro. Precisamos achar a distância da aresta do diedro (linha de interseção das faces) até o centro dessa esfera. O conteúdo envolvido é geometria em 3D: relação entre diedro, plano bissetor e distância de um ponto a cada face.

Passo 2

Calculamos primeiro o raio ,R da esfera usando a fórmula do volume:
43,pi,R^3 ;=;4raiz3,pi
R^3 ;=;3cdot4raiz34 ;=;3raiz3 Longrightarrow R ;=;(3raiz3)^1/3 ;=;raiz3

Passo 3

Como a esfera tangencia ambas as faces, a distância do centro da esfera a cada plano é igual a ,R. Em geometria de diedro, o locus de pontos equidistantes das duas faces é o plano bissetor do ângulo dihedral. Seja ,d a distância do centro ao eixo (aresta) do diedro; no plano perpendicular à aresta, as duas faces formam um ângulo theta=120^circ e o centro fica sobre a bissetriz desse ângulo. Nessa configuração, a distância perpendicular de um ponto na bissetriz até cada linha (no corte) vale dsin(theta/2).

Passo 4

Portanto, a condição de tangência dá
d,sin!l(120^circ/2r) ;=;R Longrightarrow d,sin(60^circ) ;=;raiz3
Como sin(60^circ)=tfracraiz32, segue
d ;=;raiz3tfracraiz32 ;=;2

Resposta

2

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