(ITA-SP) Um diedro mede
. A distância da aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume
que tangencia as faces do diedro é, em cm, igual a:
a)
b)
c)
d)
e) 2
a)
b)
c)
d)
e) 2
Passo 1
O enunciado diz que temos um diedro de medida
e uma esfera de volume
c
que tangencia as duas faces do diedro. Precisamos achar a distância da aresta do diedro (linha de interseção das faces) até o centro dessa esfera. O conteúdo envolvido é geometria em
D: relação entre diedro, plano bissetor e distância de um ponto a cada face.
Passo 2
Calculamos primeiro o raio
da esfera usando a fórmula do volume:
Passo 3
Como a esfera tangencia ambas as faces, a distância do centro da esfera a cada plano é igual a
. Em geometria de diedro, o locus de pontos equidistantes das duas faces é o plano bissetor do ângulo dihedral. Seja
a distância do centro ao eixo (aresta) do diedro; no plano perpendicular à aresta, as duas faces formam um ângulo
e o centro fica sobre a bissetriz desse ângulo. Nessa configuração, a distância perpendicular de um ponto na bissetriz até cada linha (no corte) vale
.
Passo 4
Portanto, a condição de tangência dá
Como
, segue