(U.E. Ponta Grossa-PR) Considerando dois planos alpha e beta e uma reta r, assinale o que for correto.
(01) Se r é perpendicular a alpha e a beta então alpha é paralelo a qualquer plano que contenha r.
(02) Se r é perpendicular a alpha e a beta então alpha e beta são paralelos entre si.
(04) Se alpha e beta são perpendiculares e a reta r está contida em alpha, então r é também perpendicular a beta.
(08) Se r é paralela a alpha então todo plano contendo r é paralelo a alpha.
(16) Se r cap alpha=varnothing então r e alpha são paralelos.

Passo 1

O enunciado apresenta dois planos alpha e beta e uma reta r, e pede para verificar a veracidade de afirmações sobre relações de perpendicularidade e paralelismo em espaço tridimensional. Vamos usar as definições:
  • Uma reta é perpendicular a um plano se ela forma 90^circ com todo vetor do plano passando pelo ponto de interseção.
  • Duas planos são paralelos se não têm interseção.
  • Uma reta é paralela a um plano se não o intersecta.

Passo 2

Analisando (01): “Se r é perpendicular a alpha e a beta então alpha é paralelo a qualquer plano que contenha r.”
Se rperpalpha, qualquer plano P que contenha r satisfaz Pperpalpha, não alphaparal<=l P. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

Analisando (02): “Se r é perpendicular a alpha e a beta então alpha e beta são paralelos entre si.”
Todo plano perpendicular a uma mesma reta é paralelo a qualquer outro plano também perpendicular a essa reta. Portanto, essa afirmação é verdadeira.

Passo 4

Analisando (04): “Se alpha e beta são perpendiculares e a reta r está contida em alpha, então r é também perpendicular a beta.”
Em geral, uma reta em alpha só será perpendicular a beta se for perpendicular à reta de interseção alphacapbeta; não vale para toda reta em alpha. Logo, é falsa.

Passo 5

Analisando (08): “Se r é paralela a alpha então todo plano contendo r é paralelo a alpha.”
Pode existir um plano que contenha r e que intersecte alpha em uma reta distinta, mesmo que rparal<=lalpha. Logo, essa afirmação é falsa.

Passo 6

Analisando (16): “Se rcapalpha=varnothing então r e alpha são paralelos.”
Por definição, se uma reta não intersecta um plano, ela é paralela a ele. Portanto, é verdadeira.

Resposta

(02) e (16)

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