(FGV-SP) Duas retas distintas que são perpendiculares a uma terceira podem ser:
I. concorrentes entre si.
II. perpendiculares entre si.
III. paralelas.
IV. reversas e não ortogonais.
V. ortogonais.
Associando V ou F a cada afirmação, conforme seja verdadeira ou falsa, tem-se:
a) V, V, V, V, V
b) V, F, V, F, V
c) F, V, F, F, F
d)
e) F, F, F, V, F
I. concorrentes entre si.
II. perpendiculares entre si.
III. paralelas.
IV. reversas e não ortogonais.
V. ortogonais.
a) V, V, V, V, V
b) V, F, V, F, V
c) F, V, F, F, F
d)
e) F, F, F, V, F
Passo 1
O enunciado diz que temos no espaço 3D duas retas distintas
e
, ambas perpendiculares a uma terceira reta
. Precisamos verificar, para cada uma das configurações abaixo, se é possível elas ocorrerem simultaneamente:
I. serem concorrentes (intersecarem-se num ponto),
II. serem perpendiculares entre si (isto é, se intersectarem formando ),
III. serem paralelas,
IV. serem reversas (skew) e não ortogonais,
V. serem ortogonais (skew com direções perpendiculares).
Para isso vamos usar a representação vetorial das direções e a classificação de posição relativa de duas retas no espaço (intersecção, paralelismo, reversas) e o ângulo entre vetores-direção.
I. serem concorrentes (intersecarem-se num ponto),
II. serem perpendiculares entre si (isto é, se intersectarem formando
III. serem paralelas,
IV. serem reversas (skew) e não ortogonais,
V. serem ortogonais (skew com direções perpendiculares).
Para isso vamos usar a representação vetorial das direções e a classificação de posição relativa de duas retas no espaço (intersecção, paralelismo, reversas) e o ângulo entre vetores-direção.
Passo 2
Modelamos
por um vetor-direção
, e
por vetores-direção
tais que
Logo
e
pertencem ao plano ortogonal a
, e dentro desse plano podem formar qualquer ângulo ou até serem paralelos.
Passo 3
I. concorrentes entre si: basta escolher
e
passando pelo mesmo ponto
de
. No plano perpendicular a
em
há infinitas direções e quaisquer duas retas desse plano intersectam-se em
. Logo I é possível.
Passo 4
II. perpendiculares entre si: no mesmo plano perpendicular a
em
escolhemos duas retas que se cruzam em
com ângulo
. Como cada uma já é
, elas se cruzam ortogonalmente. Logo II é possível.
Passo 5
III. paralelas: se
cruza
em
e
em
, e escolhemos
(ambas
), então
e
são retas paralelas em planos paralelos distintos. Logo III é possível.
Passo 6
IV. reversas e não ortogonais: novamente seja
em
e
em
, mas agora tomamos
e
não paralelos e não perpendiculares entre si. Como estão em planos paralelos (perpendiculares a
em pontos diferentes), eles não se cruzam e não são paralelos nem ortogonais. Logo IV é possível.
Passo 7
V. ortogonais (skew ortogonais): ainda com
em
e
em
, escolhemos
e ambas perpendiculares a
. As retas ficam em planos paralelos, não se cruzam (skew) mas têm direções ortogonais. Logo V é possível.
Resposta
a) V, V, V, V, V (todas as configurações são possíveis)