(FGV-SP) Duas retas distintas que são perpendiculares a uma terceira podem ser:
I. concorrentes entre si.
II. perpendiculares entre si.
III. paralelas.
IV. reversas e não ortogonais.
V. ortogonais.
Associando V ou F a cada afirmação, conforme seja verdadeira ou falsa, tem-se:
a) V, V, V, V, V
b) V, F, V, F, V
c) F, V, F, F, F
d) V, V, V, V, F
e) F, F, F, V, F

Passo 1

O enunciado diz que temos no espaço 3D duas retas distintas L1 e L2, ambas perpendiculares a uma terceira reta L3. Precisamos verificar, para cada uma das configurações abaixo, se é possível elas ocorrerem simultaneamente:
I. serem concorrentes (intersecarem-se num ponto),
II. serem perpendiculares entre si (isto é, se intersectarem formando 90^circ),
III. serem paralelas,
IV. serem reversas (skew) e não ortogonais,
V. serem ortogonais (skew com direções perpendiculares).
Para isso vamos usar a representação vetorial das direções e a classificação de posição relativa de duas retas no espaço (intersecção, paralelismo, reversas) e o ângulo entre vetores-direção.

Passo 2

Modelamos L3 por um vetor-direção u3, e L1,L2 por vetores-direção u1,u2 tais que
u1perp u3, u2perp u3
Logo u1 e u2 pertencem ao plano ortogonal a u3, e dentro desse plano podem formar qualquer ângulo ou até serem paralelos.

Passo 3

I. concorrentes entre si: basta escolher L1 e L2 passando pelo mesmo ponto P de L3. No plano perpendicular a L3 em P há infinitas direções e quaisquer duas retas desse plano intersectam-se em P. Logo I é possível.

Passo 4

II. perpendiculares entre si: no mesmo plano perpendicular a L3 em P escolhemos duas retas que se cruzam em P com ângulo 90^circ. Como cada uma já é perp L3, elas se cruzam ortogonalmente. Logo II é possível.

Passo 5

III. paralelas: se L1 cruza L3 em A e L2 em Bneq A, e escolhemos u1paral<=lu2 (ambas perpu3), então L1 e L2 são retas paralelas em planos paralelos distintos. Logo III é possível.

Passo 6

IV. reversas e não ortogonais: novamente seja L1 em A e L2 em Bneq A, mas agora tomamos u1 e u2 não paralelos e não perpendiculares entre si. Como estão em planos paralelos (perpendiculares a L3 em pontos diferentes), eles não se cruzam e não são paralelos nem ortogonais. Logo IV é possível.

Passo 7

V. ortogonais (skew ortogonais): ainda com L1 em A e L2 em Bneq A, escolhemos u1perpu2 e ambas perpendiculares a u3. As retas ficam em planos paralelos, não se cruzam (skew) mas têm direções ortogonais. Logo V é possível.

Resposta

a) V, V, V, V, V (todas as configurações são possíveis)

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