(FGV-17) Chama-se solução trivial de um sistema linear aquela em que todos os valores das incógnitas são nulos. O sistema linear, nas incógnitas x, y c z :
\left\{\begin{array}{l} x-2 y+z=0 \\\\ -x-y+5 z=0 \\\\ -5 x+y+m z=0 \end{array}\right.
a) ć impossivel para qualquer valor de m.
b) admite apenas a solução trivial para qualquer valor de m .
c) admite soluções diferentes da solução trivial para \mathrm{m}=13.
d) admite soluções diferentes da solução trivial para m=10.
e) não admite a solução trivial para m \neq 13.

Passo 1

Resumindo, temos um sistema linear homogêneo nas incógnitas x,y,z com parâmetro m:
\begin{cases} x - 2y + z = 0,\\\\ -\,x - y + 5z = 0,\\\\ -5x + y + m\,z = 0.
O conteúdo é sistemas lineares homogêneos: eles admitem solução não trivial se, e somente se, o determinante da matriz de coeficientes for zero.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes e chamamos seu determinante de \Delta:
\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1\\\\ -1 & -1 & 5\\\\ -5 & 1 & m \end{vmatrix}.

Passo 3

Calculamos \Delta por expansão na primeira linha:
\Delta = 1\cdot\begin{vmatrix}-1 & 5\\\ 1 & m\end{vmatrix} -(-2)\cdot\begin{vmatrix}-1 & 5\\\ -5 & m\end{vmatrix} +1\cdot\begin{vmatrix}-1 & -1\\\ -5 & 1\end{vmatrix}.
Isso dá
\Delta = 1\bigl((-1)m -5\cdot1\bigr) +2\bigl((-1)m -5\cdot(-5)\bigr) +1\bigl((-1)\cdot1 -(-1)\cdot(-5)\bigr)
\Delta = -m -5 +2(-m+25) +(-1-5) = -m-5 -2m+50 -6 = 39 -3m = 3(13 - m).

Passo 4

Para existir solução não trivial precisamos de \Delta=0, ou seja
3(13 - m)=0 \quad\Longrightarrow\quad m=13.
Logo, se m=13 há soluções diferentes da trivial; se m\neq13, \Delta\neq0 e só vale a solução trivial.

Resposta

c) admite soluções diferentes da solução trivial para m=13.

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