(UFPB-92) Sendo A uma matriz quadrada n \times n el a matriz identidade n \times n, o determinante de XI - A é um polinômio de grau n na variável x, chamado polinômio característico de A. Baseado nesta definição, o polinômio característico da matriz A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 3 & -1 \\\\ -2 & 0 & 0 \end{array}\right] \dot{e}: a) x^{3}-x^{2}+3 x+4 b) x^{3}+4 x^{2}-3 x-1 c) x^{3}-4 x^{2}+3 x-4 d) x^{3}+2 x^{2}-x+1 e) x^{3}+4 x^{2}+x-3 Passo 1O enunciado pede o polinômio característico de A, definido por p_A(x)=\det\bigl(xI - A\bigr). O conteúdo envolvido é cálculo de determinante de matriz 3\times3 e expansão por cofactores. Passo 2Escrevendo xI - A, temos xI - A = \begin{pmatrix} x-1 & -2 & 0\\\\ 0 & x-3 & 1\\\\ 2 & 0 & x \end{pmatrix}. Passo 3Vamos expandir o determinante pela primeira linha: \det(xI - A) = (x-1)\det\begin{pmatrix}x-3 & 1\\\ 0 & x\end{pmatrix} -(-2)\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 2 & x\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots). Calculamos os menores: \det\begin{pmatrix}x-3 & 1\\\ 0 & x\end{pmatrix} = x(x-3), \qquad \det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 2 & x\end{pmatrix} = -2. Logo \det(xI - A) = (x-1)\,x(x-3) + 2\cdot(-2). Passo 4Expandindo em série: (x-1)\,x(x-3) = x\bigl(x^2-4x+3\bigr) = x^3-4x^2+3x, portanto p_A(x)=x^3-4x^2+3x-4. Passo 5Comparando com as alternativas, o polinômio corresponde à letra (c). Resposta(c) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETACálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 9Exercícios de Livros Relacionados(Fuvest-15) No sistema linear \left\{\begin{array}{l}a x-y=1 \\\ y+z=1 \\\ x+z=m\end{array}\right. nas variáveis x. y e z. a e m são constante reais. É correto afirmar: a) No caso cm que \mathrm{a}=1,0 sistema tem solução se. e somente se, m=2. b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m. c) No caso em que m=2, o sistema ten solução se, e somente se, a =1. d) O sistema só tem solução se a=m=1. e) O sistema nào tem solução, quaisquer que sejam os valores de a c de m. (Escola Naval-86) O sistema de equações \left\{\begin{array}{l}a x+y-z=b \\\ x+2 y+z=2 \\\ x+a y+z=2\end{array}\right. nào possui solução se e só se: a) a \in\{-1.2; b) a=-1 eb =-2 c) a=-1 e b \neq-2 d) a= ? e) a=-1 (Fuvest-96) Considere o sistema de equaçòes lineares: \left\{\begin{array}{l} x+y+z=-2 m \\\ x-y-2 z=2 m \\\\ 2 x+y-2 z=3 m+5 \end{array}\right. a) Para cada valor de m, determine a solução ( \mathrm{x}_{\mathrm{m}}, \mathrm{y}_{\mathrm{m}}, \mathrm{z}_{\mathrm{m}} ) do sistema. b) Determine todos os valores de m, reais ou complexos, para os quais o produto \mathrm{x}_{\mathrm{m}} \mathrm{y}_{\mathrm{m}} \mathrm{z}_{\mathrm{m}} é igual a 32 .