(UFPB-92) Sendo A uma matriz quadrada n \times n el a matriz identidade n \times n, o determinante de XI - A é um polinômio de grau n na variável x, chamado polinômio característico de A. Baseado nesta definição, o polinômio característico da matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 3 & -1 \\\\ -2 & 0 & 0 \end{array}\right] \dot{e}:
a) x^{3}-x^{2}+3 x+4
b) x^{3}+4 x^{2}-3 x-1
c) x^{3}-4 x^{2}+3 x-4
d) x^{3}+2 x^{2}-x+1
e) x^{3}+4 x^{2}+x-3

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico de A, definido por
p_A(x)=\det\bigl(xI - A\bigr).
O conteúdo envolvido é cálculo de determinante de matriz 3\times3 e expansão por cofactores.

Passo 2

Escrevendo xI - A, temos
xI - A = \begin{pmatrix} x-1 & -2 & 0\\\\ 0 & x-3 & 1\\\\ 2 & 0 & x \end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos expandir o determinante pela primeira linha:
\det(xI - A) = (x-1)\det\begin{pmatrix}x-3 & 1\\\ 0 & x\end{pmatrix} -(-2)\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 2 & x\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calculamos os menores:
\det\begin{pmatrix}x-3 & 1\\\ 0 & x\end{pmatrix} = x(x-3), \qquad \det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 2 & x\end{pmatrix} = -2.
Logo
\det(xI - A) = (x-1)\,x(x-3) + 2\cdot(-2).

Passo 4

Expandindo em série:
(x-1)\,x(x-3) = x\bigl(x^2-4x+3\bigr) = x^3-4x^2+3x,
portanto
p_A(x)=x^3-4x^2+3x-4.

Passo 5

Comparando com as alternativas, o polinômio corresponde à letra (c).

Resposta

(c)

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