(FGV-RJ)
a) Considere os números complexos z1=1+i, z2=2(1+i), em que i é o número complexo tal que i^2=-1.
Represente, no plano cartesiano, o triângulo cujos vértices são os afixos dos números complexos z1+z2, z2-z1 e z1 z2. Calcule a sua área.
b) A razão de semelhança entre um novo triângulo, semelhante ao triângulo original, e o triângulo original, é igual a 3. Qual é a área desse novo triângulo?

Passo 1

O enunciado dá os números complexos z1=1+i e z2=2(1+i) e pede o triângulo cujos vértices são os afixos de z1+z2, z2-z1 e z1z2. Vamos usar a representação de números complexos no plano cartesiano e, em seguida, calcular a área desse triângulo via produto vetorial (determinante de 2times 2).

Passo 2

Primeiro encontramos os três afixos:
z1+z2=(1+i)+(2+2i)=3+3i,
z2-z1=(2+2i)-(1+i)=1+i,
z1z2=(1+i)(2+2i)=2+2i+2i+2i^2=2+4i-2=4i

Passo 3

No plano cartesiano isso dá os pontos
A=(3,3), B=(1,1), C=(0,4)
Podemos esboçar o triângulo ABC, mas o essencial para a área são as coordenadas.

Passo 4

Escolhendo A como origem dos vetores, temos
AB=B-A=(1-3,;1-3)=(-2,-2),
AC=C-A=(0-3,;4-3)=(-3,1)
O “produto vetorial” em 2D (determinante) é
l|ABtimesACr| =l|(-2)cdot1-(-2)cdot(-3)r| =l|-2-6r| =8
Como a área de um triângulo é metade disso, temos
Área original=12cdot8=4 Á

Passo 5

Se um triângulo é semelhante ao original com razão de semelhança k=3, a razão entre as áreas é k^2=9. Logo a área do novo triângulo é
4times9=36

Resposta

A área do triângulo original é 4.
A área do triângulo semelhante com razão de semelhança igual a 3 é 36.

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