(FGV-19) Dadas as matrizes quadradas A=\left[\begin{array}{cc}\cos x & -\operatorname{sen} x \\\ \operatorname{sen} x & \cos x\end{array}\right] e B= \left[\begin{array}{cc}\operatorname{sen} x & \cos x \\\\ -\cos x & \operatorname{sen} x\end{array}\right], o valor de \frac{\operatorname{det}(A+B)}{\operatorname{det}(A \cdot B)} é igual a
a) 0 .
b) 0.5 .
c) 1 .
d) 2 .
e) 4 .

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes 2\times2:
A = \begin{pmatrix}\cos x & -\sin x\\[6pt] \sin x & \cos x\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad B = \begin{pmatrix}\sin x & \cos x\\[6pt] -\cos x & \sin x\end{pmatrix},
e pede o valor de
\frac{\det(A+B)}{\det(A\cdot B)}.
O conteúdo envolvido é cálculo de determinantes e uso da propriedade \det(MN)=\det M\cdot\det N.]

Passo 2

Calcular \det A e \det B separadamente:
\det A = \cos x\cdot\cos x - (-\sin x)\cdot\sin x = \cos^2 x + \sin^2 x = 1,
\det B = \sin x\cdot\sin x - \cos x\cdot(-\cos x) = \sin^2 x + \cos^2 x = 1.

Passo 3

Usar a propriedade do determinante do produto:
\det(A\cdot B) = \det A \;\cdot\;\det B = 1 \cdot 1 = 1.

Passo 4

Calcular A+B e depois seu determinante.
A+B = \begin{pmatrix} \cos x + \sin x & -\sin x + \cos x\\[4pt] \sin x - \cos x & \cos x + \sin x \end{pmatrix}.
Logo
\det(A+B) = (\cos x + \sin x)^2 - \bigl(-\sin x + \cos x\bigr)\bigl(\sin x - \cos x\bigr).
Note que
(\cos x + \sin x)^2 = 1 + \sin2x,
(-\sin x + \cos x)(\sin x - \cos x) = -\sin^2 x +2\sin x\cos x -\cos^2 x = -1 + \sin2x.
Assim
\det(A+B) = (1 + \sin2x) - \bigl(-1 + \sin2x\bigr) = 1 + \sin2x +1 - \sin2x = 2.]

Passo 5

Colocando tudo na razão pedida:
\frac{\det(A+B)}{\det(A\cdot B)} = \frac{2}{1} = 2.

Resposta

d) 2.
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