(UFC-99) Considere a matriz M= \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & \alpha & \alpha^{2} \\\ \alpha^{2} & 1 & \alpha\end{array}\right], \quad onde \quad \alpha \quad representa qualquer uma das raízes (complexas) da equação \mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}+1=0. Se \operatorname{det} M simboliza o determinante da matriz M, assinale a opção na qual consta o valor de (\operatorname{det} M)^{2}+(\operatorname{det} M)+1.
a) i
b) 0
c) -1
d) 1
e) -i

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & \alpha & \alpha^2\\\ \alpha^2 & 1 & \alpha \end{pmatrix}
onde \alpha é raiz de \mathrm x^2 + \mathrm x + 1 = 0. Daí segue \alpha^2 + \alpha + 1 = 0 e \alpha^3 = 1. Precisamos achar \det M e depois avaliar
(\det M)^2 + (\det M) + 1.

Passo 2

Vamos usar expansão por cofatores na primeira linha. Denotando D_{ij} o menor de ordem 2 obtido ao eliminar linha 1 e coluna j, temos
\det M = 1\cdot(-1)^{1+1}D_{11} +1\cdot(-1)^{1+2}D_{12} +1\cdot(-1)^{1+3}D_{13} = D_{11} - D_{12} + D_{13}.

Passo 3

Calculamos cada D_{1j} usando \alpha^3=1:
D_{11} = \det\begin{pmatrix}\alpha & \alpha^2\\[6pt]1 & \alpha\end{pmatrix} = \alpha\cdot\alpha - \alpha^2\cdot1 = \alpha^2 - \alpha^2 = 0,
D_{12} = \det\begin{pmatrix}1 & \alpha^2\\[3pt]\alpha^2 & \alpha\end{pmatrix} = 1\cdot\alpha - \alpha^2\cdot\alpha^2 = \alpha - \alpha^4 = \alpha - \alpha\cdot\alpha^3 = \alpha - \alpha = 0,
D_{13} = \det\begin{pmatrix}1 & \alpha\\[3pt]\alpha^2 & 1\end{pmatrix} = 1\cdot1 - \alpha\cdot\alpha^2 = 1 - \alpha^3 = 1 - 1 = 0.]

Passo 4

Assim \det M = D_{11}-D_{12}+D_{13} = 0. Logo
(\det M)^2 + (\det M) + 1 = 0^2 + 0 + 1 = 1.

Resposta

(d) 1
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