(UFPA-99) Sejam a, b, c, m, n, p números naturais tais que \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} estão, nesta ordem, em progressão aritmética (PA), enquanto \mathbf{m}, \mathbf{n}, \mathbf{p} estão, nesta ordem, em progressão geométrica (PG).
Se a razão da PA e a razão da PG são iguais a 2 e mé o dobro de a, calcule a, b, c, m, n, p de tal forma que:
\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\\ m & n & p-4 \\\ l & 0 & 0 \end{array}\right|=0

Passo 1

No enunciado temos três números (a,b,c) em progressão aritmética (PA) de razão 2 e três números (m,n,p) em progressão geométrica (PG) de razão 2, com ainda a condição m=2a. Além disso, é dada a igualdade do determinante
\begin{vmatrix} a & b & c\\\ m & n & p-4\\\ \ell & 0 & 0 \end{vmatrix} =0,
onde \ell é um número natural não nulo (logo podemos dividi-lo). Para resolver vamos:
  1. Expressar b, c, n e p em função de a e m.
  2. Expandir o determinante e impor igual a zero.
  3. Substituir as expressões e usar m=2a para encontrar a.
  4. Determinar então b,c,m,n,p.

Passo 2

Como (a,b,c) está em PA de razão 2, temos
b = a + 2,\quad c = b + 2 = a + 4.
Como (m,n,p) está em PG de razão 2,
n = 2m,\quad p = 2n = 4m,
e também m = 2a.

Passo 3

Expandindo o determinante por cofactores na terceira linha, obtemos
\ell\;\begin{vmatrix} b & c\\\ n & p-4 \end{vmatrix} -0+0\;=\;0 \;\Longrightarrow\; b\,(p-4)\;-\;c\,n\;=\;0.

Passo 4

Substituindo b=a+2, c=a+4, n=2m, p=4m e m=2a na igualdade b(p-4)=c\,n, vem
(a+2)\bigl(4m-4\bigr)\;=\;(a+4)\,2m.
Como 4m-4=4(m-1), isso é
4(a+2)(m-1)=2m(a+4) \;\Longrightarrow\; 2(a+2)(m-1)=m(a+4).
Usando m=2a, substituímos em
2(a+2)(2a-1)=2a\,(a+4).
Expandindo:
2(2a^2+3a-2)=2a^2+8a \;\Longrightarrow\; 4a^2+6a-4=2a^2+8a \;\Longrightarrow\; 2a^2-2a-4=0 \;\Longrightarrow\; a^2 - a -2=0.

Passo 5

A equação a^2 - a -2=0 tem raízes a=2 e a=-1; como a é natural, a=2. Logo
m=2a=4,\quad b=a+2=4,\quad c=a+4=6,\quad n=2m=8,\quad p=4m=16.

Resposta

a=2,\;b=4,\;c=6,\;m=4,\;n=8,\;p=16.
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