(FGV-05) Uma escola possui 2600 alunos que nasceram em anos de 365 dias. O número minimo desses alunos da escola que faz aniversário no mesmo dia (e mês) de um outro aluno da escola, e que nasceu no mesmo dia da semana é
a) 36 .
b) 38 .
c) 42 .
d) 46 .
e) 54 .

Passo 1

O enunciado diz que há 2600 alunos, cada um com uma data de aniversário (dia e mês) num ano de 365 dias e um dia da semana de nascimento ( 7 possibilidades). Queremos garantir o número mínimo de alunos que compartilham com pelo menos outro aluno a mesma data (dia e mês) e o mesmo dia da semana. O conteúdo usado será o Princípio da Casa dos Pombos e a contagem de combinações de data e dia da semana.

Passo 2

Cada “caixa” de Pombo corresponde a uma combinação de dia-mês e dia da semana. O número total de caixas é
365 \times 7 = 2555

Passo 3

Para minimizar o número de alunos que têm companhia na mesma caixa, colocamos 1 aluno em cada caixa até ocupá-las todas. Isso usa 2555 alunos sem criar nenhuma colisão. Sobram
2600 - 2555 = 45
alunos que ainda têm de ser distribuídos em caixas já ocupadas.

Passo 4

Se colocarmos todos esses 45 alunos na mesma caixa já contendo 1 aluno, teremos nessa caixa 1 original +45 extras =46 alunos, todos eles compartilhando data e dia da semana com pelo menos outro colega. Qualquer outra distribuição espalhando esses 45 em mais caixas só aumentaria o total de alunos que “batem” em algum par.

Resposta

d) 46

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