(UnB) Em um concurso em que a prova constava de 25 questões de múltipla escolha com 5 opções por questāo, compareceram 23.127 candidatos. Considere a afirmação: pelo menos dois candidatos responderam de modo idêntico às K primeiras questões da prova. Determine o maior valor de K para o qual esta afirmaçāo é verdadeira. Exclua as possibilidades:
a) de o candidato deixar questão em branco;
b) de o candidato marcar mais de uma opção por questão.
a) de o candidato deixar questão em branco;
b) de o candidato marcar mais de uma opção por questão.
Passo 1
O enunciado diz que há
candidatos e cada um marcou exatamente uma das 5 opções em cada questão. Queremos garantir, pelas primeiras
questões, que ao menos dois candidatos tenham a mesma sequência de respostas. Isso é um caso clássico do Princípio da Casa dos Pombos, em que o número de “pombos” são os candidatos e o número de “casas” são os possíveis padrões de resposta nas
primeiras questões.
Passo 2
Para as primeiras
questões existem
padrões distintos de resposta (cada questão tem 5 escolhas). Pelo Princípio da Casa dos Pombos, se
, então necessariamente há mais candidatos do que padrões, forçando pelo menos uma duplicação de padrão em duas pessoas.
Passo 3
Calculamos algumas potências de 5 até ultrapassar
:
Logo, para
temos
, garantindo repetição, enquanto para
não há essa garantia.
Resposta
O maior valor de
para o qual a afirmação é verdadeira é
.