(UnB) Em um concurso em que a prova constava de 25 questões de múltipla escolha com 5 opções por questāo, compareceram 23.127 candidatos. Considere a afirmação: pelo menos dois candidatos responderam de modo idêntico às K primeiras questões da prova. Determine o maior valor de K para o qual esta afirmaçāo é verdadeira. Exclua as possibilidades:
a) de o candidato deixar questão em branco;
b) de o candidato marcar mais de uma opção por questão.

Passo 1

O enunciado diz que há 23\,127 candidatos e cada um marcou exatamente uma das 5 opções em cada questão. Queremos garantir, pelas primeiras K questões, que ao menos dois candidatos tenham a mesma sequência de respostas. Isso é um caso clássico do Princípio da Casa dos Pombos, em que o número de “pombos” são os candidatos e o número de “casas” são os possíveis padrões de resposta nas K primeiras questões.

Passo 2

Para as primeiras K questões existem 5^{K} padrões distintos de resposta (cada questão tem 5 escolhas). Pelo Princípio da Casa dos Pombos, se 5^{K} < 23\,127, então necessariamente há mais candidatos do que padrões, forçando pelo menos uma duplicação de padrão em duas pessoas.

Passo 3

Calculamos algumas potências de 5 até ultrapassar 23\,127:
5^{6} = 15\,625 < 23\,127, \qquad 5^{7} = 78\,125 > 23\,127.
Logo, para K=6 temos 5^{6}<23\,127, garantindo repetição, enquanto para K=7 não há essa garantia.

Resposta

O maior valor de K para o qual a afirmação é verdadeira é 6.

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