(FGV-SP) No plano cartesiano, considere a reta ® da equação 3 x+4 y-7=0 e a reta (s) dada na forma paramétrica:
lx=t-5 y=2 t t in R
Podemos afirmar que:
a) res são perpendiculares.
b) r e s determinam, com o eixo das abscissas, um triângulo de área 443.
c) r es se interceptam num ponto do eixo das abscissas.
d) r es se interceptam num ponto do eixo das ordenadas.
e) r e s são paralelas.

Passo 1

O enunciado pede para analisar duas retas no plano:
– a reta (r) de equação
3x + 4y - 7 = 0
– a reta (s) dada por
x = t - 5, y = 2t, t in R
O conteúdo principal é geometria analítica: vamos obter os vetores diretores de cada reta, verificar se são perpendiculares ou paralelas, encontrar interseções com os eixos e entre si, e por fim usar a fórmula de área de triângulo.

Passo 2

Para (r) temos o vetor normal ,(3,4). Um vetor diretor vec vr de (r) é perpendicular a esse normal, por exemplo
vec vr = (-4,3)

Passo 3

Da forma paramétrica de (s) vemos que o vetor diretor vec vs é
vec vs = (1,2)

Passo 4

Duas retas são perpendiculares se seus vetores diretores satisfazem
vec vr cdot vec vs = 0. Calculamos
(-4,3)cdot(1,2) = -4 + 6 = 2 neq 0,
logo (r) e (s) não são perpendiculares. Também não são paralelas porque seus vetores diretores não são múltiplos um do outro.

Passo 5

Agora encontramos onde cada reta corta o eixo das abscissas ( y=0).
Para (r): y=0 em 3x - 7 = 0 Rightarrow
x = tfrac73,
logo Al(tfrac73,0r).
Para (s): y=2t=0 Rightarrow t=0 Rightarrow
x = 0 -5 = -5,
logo B(-5,0).

Passo 6

O ponto de interseção C entre (r) e (s) obtém-se substituindo x=t-5 e y=2t em 3x+4y-7=0:
3(t-5) + 4(2t) -7 = 0 ;Longrightarrow; 3t -15 +8t -7 = 0 ;Longrightarrow; 11t = 22 ;Longrightarrow; t = 2
Isso dá
Cl(x,yr) = l(2-5,;2cdot2r) = (-3,4)

Passo 7

As retas (r), (s) e o eixo x formam o triângulo de vértices
Al(tfrac73,0r), B(-5,0), C(-3,4)
A base AB mede
l|tfrac73 - (-5)r| = tfrac73 + 5 = tfrac7 + 153 = tfrac223,
e a altura é a ordenada de C, ou seja 4. Assim a área é
Área = basetimesa<ura2 = tfrac223times 42 = 88/32 = 443 Á

Resposta

b) (r) e (s) determinam, com o eixo das abscissas, um triângulo de área tfrac443.

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