(FGV-SP) No plano cartesiano, considere a reta ® da equação e a reta (s) dada na forma paramétrica:
Podemos afirmar que:
a) res são perpendiculares.
b) e s determinam, com o eixo das abscissas, um triângulo de área .
c) es se interceptam num ponto do eixo das abscissas.
d) es se interceptam num ponto do eixo das ordenadas.
e) e s são paralelas.
Passo 1
O enunciado pede para analisar duas retas no plano:
– a reta de equação
– a reta dada por
O conteúdo principal é geometria analítica: vamos obter os vetores diretores de cada reta, verificar se são perpendiculares ou paralelas, encontrar interseções com os eixos e entre si, e por fim usar a fórmula de área de triângulo.
Passo 2
Para temos o vetor normal . Um vetor diretor de é perpendicular a esse normal, por exemplo
Passo 3
Da forma paramétrica de vemos que o vetor diretor é
Passo 4
Duas retas são perpendiculares se seus vetores diretores satisfazem . Calculamos
logo e não são perpendiculares. Também não são paralelas porque seus vetores diretores não são múltiplos um do outro.
Passo 5
Agora encontramos onde cada reta corta o eixo das abscissas ().
Para : em
logo .
Para :
logo .
Passo 6
O ponto de interseção entre e obtém-se substituindo e em :
Isso dá
Passo 7
As retas , e o eixo formam o triângulo de vértices
A base mede
e a altura é a ordenada de C, ou seja 4. Assim a área é
Área = basetimesa<ura2 = tfrac223times 42 = 88/32 = 443 Á
Resposta
b) (r) e (s) determinam, com o eixo das abscissas, um triângulo de área tfrac443.
Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 7: Geometria analítica - 6ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 114