(FGV-SP) Uma reta vertical divide o triângulo de vértices (0,0),(1,1) e (9,1), definido no plano ortogonal ( x , y), em duas regiões de mesma área. A equação dessa reta é:
a) x-52=0
b) x-3=0
c) x-72=0
d) x-4=0
e) x+52=0

Passo 1

O enunciado dá o triângulo de vértices (0,0), (1,1) e (9,1). O objetivo é achar a reta vertical x=a que divide esse triângulo em duas regiões de mesma área. Vamos usar o fato de que a área total do triângulo é tfrac12 vezes a base vezes a altura e, em seguida, integrar verticalmente para obter a área à esquerda de x=a.

Passo 2

Calculemos primeiro a área total do triângulo. A base pode ser tomada como o segmento BC de (1,1) a (9,1), de comprimento 8, e a altura é a distância vertical de A(0,0) até a reta y=1, que vale 1. Assim,
Área total = 8cdot12 = 4 Á
Queremos que a área à esquerda de x=a seja metade disso, isto é, 2.

Passo 3

Para encontrar a área à esquerda de x=a, fazemos integração vertical. Observe que a fronteira inferior do triângulo é a reta ACcolon y=tfracx9 para 0<= x<=9, e a fronteira superior é dada por
  • para 0<= x<=1: a reta ABcolon y=x,
  • para 1<= x<=9: a reta BCcolon y=1.
    Logo, a área F(a) à esquerda de x=a é
  • se 0<= a<=1:
F(a)=integral0^al(x - tfracx9r),dx =integral0^a8x9,dx =4a^29;
  • se 1<= a<=9:
F(a) =underbraceintegral0^18x9,dx=4/9 +integral1^al(1-tfracx9r),dx =49+integral1^al(1-x9r)dx

Passo 4

Para 1<= a<=9, calculemos
integral1^al(1-x9r)dx =l[x-x^218r]1^a =l(a-tfraca^218r)-l(1-tfrac118r) =(a-1)(17-a)18
Então
F(a)=49+(a-1)(17-a)18
Queremos F(a)=2. Multiplicando por 18:
8+(a-1)(17-a)=36 ;Longrightarrow; (a-1)(17-a)=28 ;Longrightarrow; a^2-18a+45=0
cuja única solução em [1,9] é a=3.

Resposta

x-3=0

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