(Fuvest-SP)
a) Sendo i a unidade imaginária, determine as partes real e imaginária do número complexo
b) Determine um polinômio de grau 2 , com coeficientes inteiros, que tenha como raiz.
c) Determine os números complexos tais que tenha módulo igual a e tais que as partes real e imaginária de sejam iguais.
d) No plano complexo, determine o número complexo que é o simétrico de com relação à reta de equação .
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas envolvendo números complexos:
(a) calcular as partes real e imaginária de
(b) achar um polinômio de grau 2, com coeficientes inteiros, que tenha como raiz;
(c) determinar todos os tais que o produto tenha módulo e parte real igual à parte imaginária;
(d) encontrar , simétrico de em relação à reta .
Vamos usar operações básicas com complexos (conjugado, módulo, fatoração de polinômio e simetria no plano).
Passo 2
Calcular . Primeiro
e
Somando tudo:
Logo
Passo 3
Para ter um polinômio de coeficientes inteiros que anule , notamos que o conjugado também é raiz de qualquer polinômio real. Formamos