(Fuvest-SP)
a) Sendo i a unidade imaginária, determine as partes real e imaginária do número complexo
z0=11+i-12 i+i
b) Determine um polinômio de grau 2 , com coeficientes inteiros, que tenha z0 como raiz.
c) Determine os números complexos w tais que z0 cdot w tenha módulo igual a 5 raiz2 e tais que as partes real e imaginária de z0 cdot w sejam iguais.
d) No plano complexo, determine o número complexo z1 que é o simétrico de z2 com relação à reta de equação y-x=0.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas envolvendo números complexos:
  • (a) calcular as partes real e imaginária de z0=11+i-12i+i;
  • (b) achar um polinômio de grau 2, com coeficientes inteiros, que tenha z0 como raiz;
  • (c) determinar todos os w tais que o produto z0w tenha módulo 5raiz2 e parte real igual à parte imaginária;
  • (d) encontrar z1, simétrico de z2 em relação à reta y-x=0.
Vamos usar operações básicas com complexos (conjugado, módulo, fatoração de polinômio e simetria no plano).

Passo 2

Calcular z0. Primeiro
11+i=1-i(1+i)(1-i)=1-i2=12-12,i,
e
12i=-i2i(-i)=-i2Longrightarrow -12i=+i2
Somando tudo:
z0=l(tfrac12-tfrac12,ir)+tfraci2+i =tfrac12+l(-tfrac12+tfrac12+1r)i =tfrac12+1,i
Logo
Re(z0)=12, Im(z0)=1

Passo 3

Para ter um polinômio de coeficientes inteiros que anule z0, notamos que o conjugado z0=tfrac12-i também é raiz de qualquer polinômio real. Formamos
(z-tfrac12-i)(z-tfrac12+i)=0
que se expande em
z^2-2l(tfrac12r)z+l(l(tfrac12r)^2+1^2r) =z^2-z+tfrac14+1 =z^2-z+tfrac54
Multiplicando por 4 para eliminar frações, obtemos o polinômio com coeficientes inteiros
4z^2-4z+5=0

Passo 4

Queremos P=z0w tal que Re(P)=Im(P) e |P|=5raiz2. Se Re(P)=Im(P)=a, então
P=a+ia=a(1+i), |P|=|a|,|1+i|=|a|raiz2=5raiz2
implica |a|=5, ou seja a=5 ou a=-5. Então
P=5(1+i)ou P=-5(1+i)
Logo
w=Pz0 =5(1+i)tfrac12+i ou w=-5(1+i)tfrac12+i
Como tfrac12+i=(1+2i)/2, temos
w=5(1+i)cdot21+2i =10(1+i)(1-2i)1+4 =103-i5=2(3-i)=6-2i
e, no outro caso, -6+2i.

Passo 5

Não é possível resolver o item (d), pois o número z2 não foi definido no enunciado.

Resposta

a) Re(z0)=tfrac12, Im(z0)=1.
b) Um polinômio é 4z^2-4z+5=0.
c) w=6-2i ou w=-6+2i.
d) Impossível determinar: falta a definição de z2.

Exercícios de Livros Relacionados