(FGV-SP) A quantidade mensal vendida x de um produto relaciona-se com seu preço de venda p por meio da equação: p=100-0,02 x. A receita mensal será maior ou igual a 80000 , se e somente se:
a) 3000 <= x <= 6000
b) x >= 2500
c) 2000 <= x <= 5000
d) x >= 3500
e) 1000 <= x <= 4000

Passo 1

O enunciado dá a relação entre preço p e quantidade vendida x por
p = 100 - 0,02,x
e pede para achar os valores de x tais que a receita mensal
R(x) = p cdot x
seja maior ou igual a 80,000. O conteúdo é modelar a receita como uma função quadrática e resolver uma inequação do segundo grau.

Passo 2

Escrevendo a receita em função de x:
R(x) = x,(100 - 0,02,x) = 100,x - 0,02,x^2

Passo 3

Impondo R(x)>= 80,000, temos
100,x - 0,02,x^2 ;>=; 80,000
Reorganizando em forma padrão:
-0,02,x^2 + 100,x - 80,000 >= 0 Long<=ftrightarrow 2,x^2 - 10,000,x + 8,000,000 <= 0
(dividimos por -0,01, revertendo o sinal da desigualdade) e em seguida por 2:
x^2 - 5,000,x + 4,000,000 <= 0

Passo 4

Para resolver x^2 - 5,000,x + 4,000,000 <= 0, calculamos o discriminante:
De<a = (5,000)^2 - 4cdot1cdot4,000,000 = 25,000,000 - 16,000,000 = 9,000,000,
logo raizDe<a=3,000. As raízes são
x = 5,000 pm 3,0002 ;Longrightarrow; x = 1,000 ou x = 4,000
Como o coeficiente principal é positivo, a parábola abre para cima, e a região onde a quadrática é não positiva é
1,000 <= x <= 4,000

Resposta

1000 <= x <= 4000, alternativa (e).

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