(FGV-SP) As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando pelo menos duas frutas escolhidas entre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão.
Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e não as quantidades?
a) 26
b) 24
c) 22
d) 30
e) 28

Passo 1

O enunciado diz que há 5 frutas (banana, laranja, maçã, abacaxi e melão) e que cada salada mistura pelo menos duas delas, sem considerar quantidades. Isso é um problema de contagem de subconjuntos de tamanho mínimo 2 em um conjunto de 5 elementos, ou seja, combinação simples.

Passo 2

Em geral, o número de maneiras de escolher k elementos dentre n (sem ordem) é dado pelo coeficiente binomial
binomnk ;=;n!k!,(n-k)!
Aqui temos n=5.

Passo 3

Queremos todas as escolhas de tamanho k>=2, isto é,
sumk=2^5binom5k
Uma forma prática é usar o total de todos os subconjuntos, que é 2^5, e subtrair os de tamanho 0 e de tamanho 1.

Passo 4

Sabemos que
sumk=0^5binom5k = 2^5 = 32
e
binom50 + binom51 = 1 + 5 = 6
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sumk=2^5binom5k = 32 - 6 = 26

Resposta

26

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