(ITA-SP) Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido.
Passo 1
O enunciado pede o número de inteiros de três algarismos formados com os dígitos
sem repetir dígitos, exceto quando o número inicia com 1 ou 2, caso em que o dígito 7 (e somente ele) pode repetir. Vamos separar em dois casos: números que começam em
e que começam em
.
Passo 2
Caso o primeiro dígito
(5 escolhas): não se admite nenhuma repetição. Para o segundo dígito há 6 escolhas (os restantes), e para o terceiro 5 escolhas. Logo, esse caso gera
números.
Passo 3
Caso o primeiro dígito
(2 escolhas): não pode haver repetição de dígitos que não sejam 7, mas se
aparecer em
ele pode aparecer de novo em
. Fixado
, enumeramos
:
- Se
(1 escolha), então pode ser qualquer dos 6 dígitos diferentes de , pois repetir 7 é permitido. São escolhas. - Se
(5 escolhas), então não pode ser igual a nem a , restando escolhas.
Portanto, para cada escolha dehá
números, e como
tem 2 opções, totalizam-se
números nesse caso.
Passo 4
Somando os dois casos obtemos