(ITA-SP) Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido.

Passo 1

O enunciado pede o número de inteiros de três algarismos formados com os dígitos 1,2,3,4,5,6,7 sem repetir dígitos, exceto quando o número inicia com 1 ou 2, caso em que o dígito 7 (e somente ele) pode repetir. Vamos separar em dois casos: números que começam em 3,4,5,6,7 e que começam em 1,2.

Passo 2

Caso o primeiro dígito D1in3,4,5,6,7 (5 escolhas): não se admite nenhuma repetição. Para o segundo dígito há 6 escolhas (os restantes), e para o terceiro 5 escolhas. Logo, esse caso gera
5 times 6 times 5 = 150
números.

Passo 3

Caso o primeiro dígito D1in1,2 (2 escolhas): não pode haver repetição de dígitos que não sejam 7, mas se 7 aparecer em D2 ele pode aparecer de novo em D3. Fixado D1, enumeramos D2:
  • Se D2=7 (1 escolha), então D3 pode ser qualquer dos 6 dígitos diferentes de D1, pois repetir 7 é permitido. São 6 escolhas.
  • Se D2neq7 (5 escolhas), então D3 não pode ser igual a D1 nem a D2, restando 5 escolhas.
    Portanto, para cada escolha de D1
1cdot 6 ;+;5cdot5 ;=;6+25 ;=;31
números, e como D1 tem 2 opções, totalizam-se
2 times 31 = 62
números nesse caso.

Passo 4

Somando os dois casos obtemos
150 + 62 = 212

Resposta

212

Exercícios de Livros Relacionados