(FGV-SP) Seja ABC um triângulo retângulo em tal que e , onde é a altura do triângulo ABC pelo vértice B .
Dado:
valor aproximado de em graus
35,3
40,9
43,3
49,1
A menor medida possível do ângulo AĈB tem aproximação inteira igual a
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC retângulo em B, com hipotenusa AC=tfrac7raiz32 e altura relativa à hipotenusa BP=3. O que precisamos usar é o Teorema da Altura no triângulo retângulo, que diz:
  1. Os segmentos AP e PC sobre a hipotenusa satisfazem
AP + PC = AC
e
APcdot PC = BP^2
  1. Além disso, para achar o ângulo em C vamos usar
tan(C)=ABBC,
com as relações de projeção
AB^2 = APcdot AC, BC^2 = PCcdot AC

Passo 2

Aplicando
AP + PC = 7raiz32, APcdot PC = 3^2 = 9,
definimos t=AP. Então PC=tfrac7raiz32-t e
tl(7raiz32-tr)=9
leva à equação quadrática
t^2 - 7raiz32,t + 9 = 0

Passo 3

O discriminante é
De<a = l(7raiz32r)^2 - 4cdot1cdot9 = 1474 - 36 = 34
Logo as raízes são
t = tfrac7raiz32pm tfracraiz322 = raiz3(7pm1)4,
ou seja
t1 = AP = 2raiz3,; PC = 3raiz32 ou t2 = AP = 3raiz32,; PC = 2raiz3

Passo 4

Para cada caso calculamos
tan(C) = ABBC = raizAPcdot ACPCcdot AC = raizAPPC

Passo 5

No primeiro caso,
APPC = 2raiz3tfrac3raiz32 = 43, tan(C)=raiztfrac43=2raiz33approx 1,155,
que pela tabela corresponde a 49,1^circ.
No segundo caso,
APPC = tfrac3raiz322raiz3 = 34, tan(C)=raiztfrac34=raiz32approx 0,866,
que pela tabela corresponde a 40,9^circ.
A menor medida possível de ang<= Awidehat C B é 40,9^circ.

Resposta

A aproximação inteira da menor medida é 41^circ, alternativa (c).

Exercícios de Livros Relacionados