(FGV-05) Seja I a matriz identidade de ordem 3 e M a matriz quadrada \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 0 & 0\end{array}\right]. Se o determinante da matriz ( M+x I ) é uma função polinomial na variável x , a soma de suas raízes é igual a
a) -1 .
b) 0 .
c) 1 .
d) 2 .
e) 3 .

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 0 & 2\\\\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e pede a soma das raízes do polinômio \det(M + xI). O conteúdo usado será o cálculo do determinante por expansão de cofatores e a relação entre os coeficientes de um polinômio monico e a soma de suas raízes.

Passo 2

Escrevemos
M + xI = \begin{pmatrix} x & 1 & 2\\\\ 1 & x & 2\\\\ -1 & 0 & x \end{pmatrix}
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
\det(M + xI) = x\det\begin{pmatrix}x & 2\\\ 0 & x\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ -1 & x\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}1 & x\\\ -1 & 0\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}x & 2\\\ 0 & x\end{pmatrix}=x^2, \quad \det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ -1 & x\end{pmatrix}=x+2, \quad \det\begin{pmatrix}1 & x\\\ -1 & 0\end{pmatrix}=x.
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\det(M + xI) = x\cdot x^2 - 1\cdot(x+2) + 2\cdot x = x^3 - x - 2 + 2x = x^3 + x - 2.

Passo 3

Para um polinômio monico
x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0,
a soma das raízes é -a_2. Aqui o coeficiente de x^2 é 0, então a soma das raízes vale 0.

Resposta

b) 0
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