(EsPCEx-17) Considere a matriz M =\left[\begin{array}{ccc}a & a^{3}-b^{3} & b \\\ a & a^{3} & 0 \\\\ 2 & 5 & 3\end{array}\right]. Se a e b sào números
reais nào nulos \mathrm{e} \operatorname{det}(\mathrm{M})=0, então 0 valor de 14 a^{2}-21 b^{2} é igual a
a) 15
b) 28
c) 35
d) 49
e) 70
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
M = \begin{pmatrix} a & a^{3}-b^{3} & b\\\ a & a^{3} & 0\\\\ 2 & 5 & 3 \end{pmatrix}
e informa que a e b são reais não nulos com \det(M)=0. Queremos calcular o valor de 14a^2-21b^2. Para isso, vamos (1) computar \det(M), (2) usar \det(M)=0 para achar uma relação entre a^2 e b^2 e (3) substituir essa relação em 14a^2-21b^2.
Passo 2
Calculemos \det(M) expandindo pela primeira linha: