(EsPCEx-17) Considere a matriz M =\left[\begin{array}{ccc}a & a^{3}-b^{3} & b \\\ a & a^{3} & 0 \\\\ 2 & 5 & 3\end{array}\right]. Se a e b sào números
reais nào nulos \mathrm{e} \operatorname{det}(\mathrm{M})=0, então 0 valor de 14 a^{2}-21 b^{2} é igual a
a) 15
b) 28
c) 35
d) 49
e) 70

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
M = \begin{pmatrix} a & a^{3}-b^{3} & b\\\ a & a^{3} & 0\\\\ 2 & 5 & 3 \end{pmatrix}
e informa que a e b são reais não nulos com \det(M)=0. Queremos calcular o valor de 14a^2-21b^2. Para isso, vamos (1) computar \det(M), (2) usar \det(M)=0 para achar uma relação entre a^2 e b^2 e (3) substituir essa relação em 14a^2-21b^2.

Passo 2

Calculemos \det(M) expandindo pela primeira linha:
\det(M) = a\det\begin{pmatrix}a^3&0\\\ 5&3\end{pmatrix} - (a^3 - b^3)\det\begin{pmatrix}a&0\\\ 2&3\end{pmatrix} + b\det\begin{pmatrix}a&a^3\\\ 2&5\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}a^3&0\\\ 5&3\end{pmatrix}=3a^3,\quad \det\begin{pmatrix}a&0\\\ 2&3\end{pmatrix}=3a,\quad \det\begin{pmatrix}a&a^3\\\ 2&5\end{pmatrix}=5a-2a^3.
Logo,
\det(M) = a\cdot3a^3 - (a^3-b^3)\cdot3a + b\,(5a-2a^3) =3a^4 -3a^4 +3ab^3 +5ab -2a^3b =ab\,(3b^2 -2a^2 +5).

Passo 3

Como \det(M)=0 e a\neq0, b\neq0, segue
3b^2 - 2a^2 + 5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2a^2 = 3b^2 + 5 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = \frac{3b^2+5}{2}.

Passo 4

Substituindo em 14a^2-21b^2, temos
14a^2 - 21b^2 =14\cdot\frac{3b^2+5}{2} -21b^2 =7(3b^2+5) -21b^2 =21b^2 +35 -21b^2 =35.

Resposta

c) 35
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