(FGV-SP) Em um triângulo retângulo ABC , com ângulo reto em B, AC^2=48, BP^2=9, sendo que BP é a altura de ABC com relação ao vértice B. Nessas condições, a medida do ângulo AĈB é
a) 15^circ ou 75^circ.
b) 20^circ ou 70^circ.
c) 22,5^circ ou 67,5^circ.
d) 30^circ ou 60^circ.
e) 45^circ.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em B, hipotenusa AC e altura BP sobre AC. Sabemos que ,AC^2=48 e ,BP^2=9. O que precisamos usar é a propriedade da altura ao quadrado na hipotenusa:
APcdot PC = BP^2,
além de
AP + PC = AC
Queremos encontrar o valor de ang<= Awidehat CB.

Passo 2

Calculamos primeiro o comprimento de
Em seguida, escrevemos o sistema para e :
Isso leva à equação quadrática em (t]:

Passo 3

Resolvendo a quadrática:
De<a = (4raiz3)^2 - 4cdot9 = 48 - 36 = 12,
t = 4raiz3 pm raiz122 = 4raiz3 pm 2raiz32 = 2raiz3 pm raiz3
Logo as soluções são
AP = 3raiz3, PC = raiz3 ou AP = raiz3, PC = 3raiz3

Passo 4

Na geometria do triângulo retângulo com altura ao quadrado se tem
AP = AB^2AC, PC = BC^2AC
Caso AP=3raiz3, vem
AB^2 = APcdot AC = 3raiz3cdot4raiz3 = 36 Longrightarrow AB = 6,
e
BC^2 = PCcdot AC = raiz3cdot4raiz3 = 12 Longrightarrow BC = 2raiz3
No caso inverso ( AP=raiz3 e PC=3raiz3) trocam-se os papéis de AB e BC.

Passo 5

Queremos ang<= Awidehat CB. Esse ângulo tem como lado oposto o segmento AB e hipotenusa AC, então
sinl(ang<= Awidehat CBr) = ABAC
  • Se AB=6 e AC=4raiz3, então
sinl(ang<= Awidehat CBr) = 64raiz3 = 32raiz3 = raiz32 Longrightarrow ang<= Awidehat CB = 60^circ
  • Se AB=2raiz3 e AC=4raiz3, então
sinl(ang<= Awidehat CBr) = 2raiz34raiz3 = tfrac12 Longrightarrow ang<= Awidehat CB = 30^circ

Resposta

d) 30^circ ou 60^circ.

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