(Fuvest-SP) Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma P.A. Sabendo-se também que o perímetro de A B C vale 15 e que o ângulo A mede 120^circ, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a
a) 25
b) 45
c) 75
d) 105
e) 125

Passo 1

O enunciado diz que em triang<= ABC os comprimentos dos lados formam uma progressão aritmética, o perímetro vale 15 e o ângulo A mede 120^circ. Para resolver precisamos usar a definição de progressão aritmética para os lados e a lei dos cossenos no vértice A.

Passo 2

Rotulamos os lados opostos aos vértices A,B,C por a,b,c, respectivamente, e escrevemos a P.A. como
a,;b=a+d,;c=a+2d
O perímetro a+b+c=15
a+(a+d)+(a+2d)=3a+3d=15
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a+d=5

Passo 3

Da relação a+d=5 vemos que o termo do meio é
b=a+d=5,
e os outros dois termos ficam
a=5-d, c=5+d

Passo 4

Aplicamos a lei dos cossenos no ângulo A, sabendo que cos120^circ=-tfrac12:
a^2 = b^2 + c^2 - 2,b,ccosA = b^2 + c^2 -2,b,cl(-tfrac12r) = b^2 + c^2 + b,c
Substituindo a=5-d, b=5, c=5+d, obtemos
(5-d)^2 = 5^2+(5+d)^2 + 5(5+d)
Desenvolvendo,
25 -10d + d^2 = 25 +25 +10d + d^2 +25 +5d
25 -10d + d^2 = 75 +15d + d^2
-10d = 50 +15d Longrightarrow d=-2

Passo 5

Com d=-2 os comprimentos são
a=5-(-2)=7, b=5, c=5+(-2)=3
O produto dos comprimentos é
acdot bcdot c = 7 times 5 times 3 = 105

Resposta

105

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