(Fuvest-SP) Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma P.A. Sabendo-se também que o perímetro de
vale 15 e que o ângulo
mede
, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a
a) 25
b) 45
c) 75
d) 105
e) 125
a) 25
b) 45
c) 75
d) 105
e) 125
Passo 1
O enunciado diz que em
os comprimentos dos lados formam uma progressão aritmética, o perímetro vale
e o ângulo
mede
. Para resolver precisamos usar a definição de progressão aritmética para os lados e a lei dos cossenos no vértice
.
Passo 2
Rotulamos os lados opostos aos vértices
por
, respectivamente, e escrevemos a P.A. como
O perímetro
dá
logo
Passo 3
Da relação
vemos que o termo do meio é
e os outros dois termos ficam
Passo 4
Aplicamos a lei dos cossenos no ângulo
, sabendo que
:
Substituindo
,
,
, obtemos
Desenvolvendo,
Passo 5
Com
os comprimentos são
O produto dos comprimentos é
Resposta
105