(UF-BA) Considere um trapézio T, de altura h=2 u.c., base menor b=4 u.c. e ângulos da base a=arctg 2 e c=45^circ. Determine a área do trapézio T^prime, obtido de T por uma homotetia de razão 32 e centro em um ponto qualquer.

Passo 1

O enunciado dá um trapézio T de altura h=2, base menor b=4 e ângulos na base (sobre b) iguais a
a = arctan 2 e c = 45^circ
Queremos a área de T', imagem de T por homotetia de razão k=tfrac32. Vamos (1) calcular a base maior B de T usando trigonometria, (2) achar A(T) e (3) usar que área escala como k^2.

Passo 2

Em cada lado oblíquo, o deslocamento horizontal entre a base menor e a base maior vale
x1 = htan a, x2 = htan c
Como tan a=2 e tan c=1 e h=2,
x1 = 22 = 1, x2 = 21 = 2

Passo 3

A base maior de T é
B = b + x1 + x2 = 4 + 1 + 2 = 7

Passo 4

A área de um trapézio é (base menor+base maior)2timesa<ura. Logo
A(T) = b + B2,h = 4 + 72times 2 = 11

Passo 5

Sob homotetia de razão k=tfrac32, as áreas se multiplicam por k^2. Portanto
A(T') = k^2,A(T) = (32)^2 times 11 = 94times 11 = 994

Resposta

994 unidade(s) de área.

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