(FGV-SP) No triângulo retângulo ABC , retângulo em C, tem-se que A B=3 raiz3. Sendo P um ponto de A B tal que P C=2 e AB perpendicular a PC, a maior medida possível de PB é igual a
a) 3 raiz3+raiz112
b) raiz3+raiz11
c) 3(raiz3+raiz5)2
d) 3(raiz3+raiz7)2
e) 3(raiz3+raiz11)2

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C e hipotenusa AB=3raiz3. O ponto P está em AB tal que PCperpAB e PC=2. Queremos a maior medida possível de PB.
Conteúdo: propriedades da altura relativa à hipotenusa em triângulo retângulo.

Passo 2

Sejam
;a=BC,;b=AC.
Como AB é hipotenusa, vale
a^2+b^2=(3raiz3)^2=27
E a altura do vértice reto C à hipotenusa mede
h=PC=abAB=ab3raiz3=2 ;Longrightarrow; ab=6raiz3

Passo 3

Os valores de a^2 e b^2 são raízes da equação
t^2-(a^2+b^2),t+(ab)^2=0 ;Longrightarrow; t^2-27t+108=0
Logo
t=27pmraiz27^2-4cdot1082 =27pmraiz2972 =27pm3raiz332

Passo 4

Em triângulo retângulo, a projeção de BC=a sobre AB é
PB=BC^2AB=a^23raiz3
Para maximizar PB escolhemos
a^2=27+3raiz332,
então
PB =27+3raiz3323raiz3 =27+3raiz336raiz3 =9+raiz332raiz3 =9raiz3+3raiz116 =3raiz3+raiz112

Resposta

3raiz3+raiz112

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